Статья: Вычисление многочленов от Ньютона до наших дней

— Верно! — подтвердили остальные. — Говорите понятнее... Что такое лес?

Я. Осенка. Загородная прогулка в 2050 году

Пришло время спросить, нет ли схем, более экономных, чем схема (7.k)? Но тогда неизбежен и вопрос — что такое схема?

Определение. (I). Схема с предварительной обработкой коэффициентов — это последовательность арифметических операций, в которых участвуют переменная x, параметры b1, b2, ..., bm и результаты предшествующих операций. Результат последней операции назовем результатом схемы. (II). Если при некотором наборе значений параметров b1, ..., bm результат схемы есть данный многочлен степени n, то мы скажем, что схема представляет этот многочлен. (III). Если схема представляет многочлен, то процесс вычисления по его коэффициентам соответствующего набора значений параметров назовем предварительной обработкой коэффициентов. (IV). Схема называется универсальной степени n, если она представляет любой многочлен степени n вида (1).

Примеры. 1. Схема (7.k) — универсальная (степени n=2k); то же верно и для схемы Горнера (параметры — сами коэффициенты).

2. Схема p(x) = (xn+1 – b1)/(x – b2) представляет многочлен (в) §3 при b1 = b2 = 1.

Упражнение

6. Докажите, что общее число SN схем (всех степеней), содержащих не более N операций, конечно и не превосходит числа 6 [(3N – 1)!/(2N – 1)!]2.

Решение

Так как в каждой операции участвует не более двух параметров, то общее число параметров в схеме с N операциями не больше 2N–1 (хотя бы в одной операции должна участвовать переменная x). В первой операции участвуют два числа. Каждое из них есть либо x, либо один из не более чем 2N–1 параметров; всего не более (2N)2 возможностей. Во второй операции могут участвовать те же числа и результат первой операции; всего не более (2N+1)2 возможностей, и так далее. Наконец, в последней операции могут участвовать не более 3N–1 чисел (в том числе N–1 результат предыдущих операций); всего не более (3N–1)2 возможностей. Общее число различных вариантов не больше произведения этих чисел, то есть

SN ≤ (2N)2 (2N + 1)2 ... (3N – 1)2 = [(3N – 1)!/(2N – 1)!]2.

§7. ... И о наилучшей из них, в частности

Теперь наш вопрос о наилучших схемах степени n приобрёл точный смысл, и можно дать на него точный ответ: схема из §5 почти наилучшая — любая универсальная схема степени n содержит не менее ½(n–1) (×, :)-операций и не менее n–1 (+, –)-операций.

Справедливость этого утверждения можно вывести из двух важных свойств схем:

число m параметров универсальной схемы степени n не меньше числа коэффициентов, то есть m≥n;

в промежутке между двумя (×, :)-операциями любой (не обязательно универсальной) схемы может появиться не более двух по-настоящему новых параметров (все остальные будут «лишними»), а между двумя (+, –)-операциями — не более одного.

Второе свойство стоит сформулировать более строго: если схема содержит r (×, :)-операций (или s (+, –)-операций), то число m параметров либо сразу не больше 2r+1 (соответственно s+1), либо без ущерба для свойств схемы может быть уменьшено до 2r+1 (соответственно, s+1), то есть m ≤ 2r + 1 и m ≤ s + 1.

Итак, n ≤ m ≤ 2r + 1 и n ≤ m ≤ s + 1, отсюда ½(n – 1) ≤ r и n – 1 ≤ s.

— Но вы совсем забыли о схеме Горнера! — прервёт нас читатель, которому больше по душе классическая ясность схем без предварительной возни с коэффициентами. — Ведь она не зря кажется предельно экономной!

— Схема Горнера действительно наилучшая среди схем, в которых параметрами являются сами коэффициенты. Недостаток места не позволяет нам изложить красивое, но не очень простое доказательство этого факта, найденное в 1960 году.

А теперь займёмся двумя сформулированными выше свойствами схем, сначала вторым.

§8. Параметры в операциях