Учебное пособие: Дифференциальное уравнение теплопроводимости

Таким образом,

(2.17)

Выделение или поглощение теплоты внутри объема V удобно хаpактеризовать с помощью плотности (мощности) тепловых источников. Под плотностью тепловых источников понимают такую функцию F(x, у, z, t), когда в элементарном объеме dV за промежуток времени dt выделяется количество теплоты, равное

dQ2= F(x, у, z, t)dVdt= F(M, t)dVdt. (2.18)

Тогда за промежуток времени dt в теле объемом V выделится количество теплоты

(2.19)

Здесь F(M, t)>0; если F(M, t)<0, то теплота не выделяется, а поглощается; функция F(M, t) считается непрерывной и ограниченной.

Общее количество теплоты Q,, полученное выделенным объемом V,

(2.20)

С другой стороны, согласно формуле (2.13), это количество теплоты равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме. Указанное изменение на основании первого закона термодинамики может быть выражено формулой

Q=CdT, (2.21)

где С — теплоемкость выделенного объема; dT — изменение его температуры.

Таким образом, Q может быть вычислено двумя способами, с одной стороны, по формуле (2.20), с другой — путем учета изменения температуры в точках объема V, ограниченного поверхностью S. В точке (х, у, z) за промежуток времени dt температура Т(х, у, z, t) изменится на

Т(х, у, z, t+dt)-T(x, у, z, t)=(dT/dt)dt.

Элементу объема dV массой ρdV для такого изменения температуры потребуется количество теплоты, равное cρ (dT/dt)dVdt, а всему объему

(2.22)

где с—удельная теплоемкость, Дж/(кг-град); ρ — плотность вещества, кг/м3; ср, Дж/(м3-град).

Принимая во внимание (2.21) с учетом (2.20) и (2.22), находим

(2.23)

Равенство (2.23) должно выполняться для любой части тела объемом V. Это возможно только тогда, когда в каждой точке внутри тела

cρ(∂T/∂t) + divq – F(M,t) = 0 (2.24)

Это заключение справедливо, если левая часть в равенстве (2.24) — непрерывная функция. Предположим, что в точке М(х, у, z) равенство нарушается, т. е., например, [cpdT/dt+divq—F(M, t)]>0. Тогда, интегрируя обе части неравенства по некоторой области V, содержащей точку М, получим противоречие с условием (2.23).

Так как q=—λgradT, то равенство (2.24) можно записать следующим образом:

cp(dT/dt)=div(λgvadT)+F(M, t). (2.25)

Получено уравнение, которому должна удовлетворять функция Т(х, у, z, t), представляющая собой температуру некоторого тела. Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье.

Для изотропного гомогенного тела параметры с, ρ, λ постоянные; далее, так кaк div(grad T)= ∆T, где ∆ — оператор Лапласа, то окончательно запишем

дТ/∂t = а∆Т(М, t)+[1/(cp)]F(M, t), (2.26)

где а= λ/(ср) — коэффициент пропорциональности, называемый температуропроводностью, м2/ч.

Тогда, в декартовых координатах уравнение (2.26) имеет вид