Учебное пособие: Дифференциальное уравнение теплопроводимости

В отличие от λ, которая характеризует теплопроводящую способность тела, а характеризует теплоинерционные свойства тела и является мерой скорости выравнивания температурного поля в рассматриваемой среде. Действительно, по определению, а=λ/(ср), где сρ — объемная изобарная теплоемкость. Отсюда температуропроводность а прямо пропорциональна теплопроводности λ и обратно пропорциональна аккумуляционной способности сρ вещества. Особенно наглядным становится физический смысл а в уравнении теплопроводности, когда отсутствует внутреннее тепловыделение и ∂T/∂t=a∆T(M, t). Зная вблизи точки М(х, у, z) зависимость температуры от координат, можно предсказать, как быстро будет нарастать (или спадать) температура в этой точке при переходе к следующему моменту времени. При этом, чем больше а (т. е. чем меньше сρ), тем пропорционально быстрее меняется во времени температура. Таким образом, а характеризует способность вещества изменять с большей или меньшей скоростью свою температуру во времени.

Уравнение (2.26) представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных, в котором независимыми переменными являются время и три пространственные координаты, а зависимой переменной— функция Т (температура). Это уравнение первой степени (линейное), поскольку зависимая переменная Т входит в него только в первой степени. Но вместе с тем оно является уравнением второго порядка, так как дифференциальный оператор Т содержит производные второго порядка от Т по пространственным переменным. Функция F считается заданной функцией, в общем случае функцией координат и времени.

Может, в частности, оказаться, что температура рассматриваемого тела в любой его точке не изменяется во времени, т. е. является функцией только координат (установившееся состояние). Тогда ∂T/∂t=0 и уравнение (2.26) принимает вид

∆T(M)+(1/λ)F(M)=0, (2.27)

где плотность тепловых источников F (М) уже не зависит от времени.

Уравнение (2.27) называется уравнением Пуассона.

Если внутри тела отсутствуют тепловые источники и температурное поле стационарно, то имеем уравнение (в декартовых координатах)

∆Т(М)=∂2T/ ∂x2 + ∂2T/∂y2 +∂2T/∂z2 =0 , (2.28)

которое называется уравнением Лапласа.