Учебное пособие: Элементы кинетической теории газов и вероятностные модели

За малый промежуток времени происходит огромное количество таких соударений, и на поршень, таким образом, будет со стороны газа действовать сила со средним по времени значением,

где индексом занумерованы силы, отвечающие индивидуальным соударениям, происшедшим за промежуток времени .

Все молекулы, первая компонента скорости которых , находящиеся внутри объёма за время успеют долететь до поршня и передать ему импульс, равный . То же самое можно (с малой погрешностью) сказать и о молекулах, скорость которых принадлежит окрестности точки .

Общее число таких молекул рано, очевидно, выражению

,

переданный ими поршню импульс равен

,

а суммарный импульс, переданный поршню за время с произвольным , оказывается равным по величине

,

где – полная кинетическая (а другой никакой нет) энергия идеального одноатомного газа, заполняющего наш сосуд. Но

,

и, в силу (1.3), . Если в этом равенстве обозначить , то мы получим состояния ПТДС для случая одноатомного газа вида

,

где – давление газа, – объём, заполненный газом, а – его полная внутренняя энергия.

Из равенства (2.3) видно, что под полной внутренней энергией ПТДС понимается выражение

В теории вероятностей выражение называется математическим ожиданием функции от случайной величины , равной в нашем случае.

В общем случае

.

Упражнение. Воспользовавшись физической интерпретацией плотности распределения по скоростям для идеального газа, описанной ранее, показать, что в (4.3) равно сумме кинетических энергий отдельных молекул, из которых состоит газ, заполняющий ПТДС.

Из (4.3) видно, что

,

т.е. математическое ожидание для кинетической энергии молекулы в одноатомном идеальной газе равно среднему значению его полной энергии, приходящейся на одну молекулу.

4. Теплообмен и температура

Уже повседневный опыт свидетельствует: при тепловом контакте двух тел то из них, которое на ощупь воспринимается как более горячее, становится холоднее, а более холодное, наоборот, нагревается. При длительном контакте и без теплообмена с термостатом температура обоих тел уравнивается.

Здесь термин "температура" означает пока не более, чем то, что оба тела на ощупь кажутся одинаково тёплыми.

Рассмотрим явление теплового контакта с точки зрения молекулярной теории.

Итак, пусть две ПТДС отделены друг от друга теплопроводящей стенкой и теплоизолированы от термостата. На уровне молекул взаимодействие осуществляется через соударения, причём молекулы стенки выступают в роли "посредников". И если в газе молекулы между соударениями движутся по инерции, свободно, то в твёрдой стенке связаны с соседними силами межмолекулярного взаимодействия. Однако эти силы много меньше тех сил, которые возникают в момент контакта между молекулой газа и молекулой стенки или двумя молекулами стенки, когда они сталкиваются на большой скорости.