Учебное пособие: Элементы кинетической теории газов и вероятностные модели

Со стороны поля сил на газ, заполняющий Д, будет действовать сила, равная

,

где n(x) – число молекул в единице объёма в точке х. Но

В условиях равновесия силы, даваемое выражениями (5.1) и (5.2), равны по величине и противоположны по знаку, т.е.

.

Поскольку это равенство верно для любого Д, то из него вытекает, что

(5.3) .

Найдём теперь связь между P(x) и плотностью частиц n(x) в точке х. Если взять шар радиуса с центром в точке х, то при малых уравнение состояния для газа в этом объёме будет иметь вид

или.

Подставляя найденное P(x) в (5.3), получим уравнение

.

Беря интеграл от обеих частей по кривой, соединяющей х с точкой , в которой мы полагаем , получим

,

т.е. .

В частности, для газа (воздуха) в поле силы тяжести Земли в условиях равновесия (равновесная атмосфера) получаем формулу Больцмана

.

6. Плотность распределения по скоростям. Распределение Максвелла

Обозначим через проекцию скорости молекулы газа массы m, находящегося в равновесии в поле силы тяжести Земли при температуре T. Тогда в единичном объёме на высоте h будет находиться молекул, вертикальная составляющая скорости которых в окрестности точки v. Двигаясь вверх, эти молекулы заполнят единичный объём на высоте , имея скорость (вертикальную составляющую), где находится из соотношения:

.

Отбрасывая бесконечномалые второго порядка, получаем

.

Но, как уже было сказано выше,

,

или ,

т.е. .

Но и ,

т.е..