Учебное пособие: Элементы кинетической теории газов и вероятностные модели

,

а функция имеет график вида

Соседние молекулы в стенке (твёрдой) сосуда находятся на расстояниях, близких к , совершая колебательные движения вокруг своих положений равновесия. Но как только они достаточно сблизятся, между такими столкнувшимися молекулами возникает сильное отталкивание, так как множитель резко возрастает при уменьшении . Большая сила действует лишь краткое мгновение, словом, всё происходит как при соударении бильярдных шаров, соединённых упругими связями типа пружинок в трёхмерную "сеть", составляющую материал стенки.

Всё сказанное выше поясняет, почему можно считать законы соударения для таких молекул такими же, как для идеального газа.

Будем считать, как и ранее, скорости сталкивающихся молекул и случайными величинами. Если они принадлежат к одному из двух сортов, их массы m₁ и m₂ могут быть различными.

Введём две новые случайные скорости:

и .

.

Вычислим математическое ожидание или среднее значений от обеих частей этого равенства. Как легко видеть, в системе центра масс картина столкновений в целом выглядит так, что вектор относительной скорости , так же как и вектора в отдельности, распределён по всем направлениям равномерно. Поэтому для любого фиксированного значения случайная величина, будучи нечётной по , в среднем равна нулю. То же самое можно сказать и о среднем значении .

Отсюда немедленно следует, что установление термодинамического равновесия в такой двойной системе ПТДС означает уравнивание средних значений кинетической энергии молекул идеальных газов, заполняющих каждую из частей нашей сдвоенной системы. И, таким образом, выравнивание температур при тепловом контакте двух ПТДС означает выравнивание средних значений кинетической энергии составляющих их идеальных газов. Температура и средняя энергия оказывается пропорциональными друг другу. Точнее, под температурой следует понимать характеристику или функцию состояния термодинамической системы, пропорциональную средней энергии молекул газа-наполнителя.

Исторически понятие температуры и способы её измерения возникли много раньше, чем Максвелл, Больцман и др. создали кинетическую теорию газов и статическую физику как раздел теоретической физики.

В частности, Гей-Люссак опытным путём показал, что для большинства газов, в том числе и многоатомных, при условии, что расстояния между молекулами в среднем много больше их диаметра, справедливо соотношение

,

где – абсолютная температура, связанная с температурой по Цельсию соотношением

Универсальная газовая постоянная ,

– масса газа в граммах, – масса граммолекулы газа, так что отношение равно числу молей газа, заполняющего ПТДС.

Отношение в (4.1) можно, очевидно, заменить отношением , где – число молекул газа в нашей ПТДС, а – число Авогадро. Уравнение (4.1) можно переписать теперь в таком виде

,

где – универсальная постоянная Больцмана.

Если сравнить равенство (4.2) с уравнением состояния для одноатомных газов, полученным исходя из молекулярной теории и вероятностных соображений в третьем разделе, то первое, что следует отметить. это его более общий характер. Оно остаётся неизменным, если газ-наполнитель представляет собой смесь газов, необязательно одноатомных (как, например, воздух). Во-вторых, T – величина измеряемая, в отличие от полной энергии U. Да и коэффициент перед U, полученный в предположении об одноатомности газа-наполнителя, в случае многоатомных газов найти гораздо труднее.

Если сравнить (3.3) и (4.2) в случае, когда , то в случае одноатомного газа получается равенство

Упражнение. Вычислить для гелия и аргона при .

5. Плотность равновесного распределения молекул в потенциальном силовом поле

До сих пор мы считали, что на молекулы не действуют никакие другие силы кроме тех, которые возникают в момент соударения молекул.

Предположим теперь, что ПТДС помещена в потенциальное силовое поле, т.е. на молекулу в точке х действует сила. Например, в поле силы тяжести Земли на каждую материальную точку массы m действует сила

,

если ось декартовой системы координат направить вверх перпендикулярно поверхности Земли.