Учебное пособие: Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора

. (2)

Віднімемо від рівності (2) рівність (1), помножену на . Одержимо

. (3)

За припущенням індукції вектори лінійно незалежні, тому рівність (3) виконується тоді і тільки тоді, коли всі коефіцієнти при дорівнюють нулю. Але за умовою (), а тому .

Підставивши ці значення у рівність (1), одержимо , звідси , бо . Отже, рівність (1) виконується тоді і тільки тоді , коли всі () одночасно. Тому – лінійно незалежні.

Теорему доведено. Повернемось до питання, як знайти власні значення і власні вектори лінійного оператора. Для цього нам потрібно розглянути деякі додаткові поняття.

Характеристична матриця

Нехай дана квадратна матриця

.

Матриця

називається характеристичною матрицею. Детермінант цієї матриці

називається характеристичним многочленом.

Корені цього многочлена називаються характеристичними числами.

Теорема. Характеристичні многочлени подібних матриць однакові.

Доведення. Нехай . Тоді

Теорема доведена.

Нехай лінійний оператор в базисі векторного простору задано матрицею

і – власний вектор оператора , який відповідає власному значенню , тобто .

Позначимо координати вектора в базисі через .

Тоді з одного боку , а з другого боку .

Тоді

або в розгорнутому вигляді

(4)

Звідси одержимо систему лінійних однорідних рівнянь