Математика / Учебное пособие: Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора

Учебное пособие: Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора

Як ми вже знаємо один і той же лінійний оператор в різних базисах задається різними матрицями. Виникає питання: чи не можна знайти такий базис векторного простору, в якому матриця лінійного оператора має найпростіший вигляд. Таким виглядом буде діагональний вигляд. До вияснення цього питання ми і приступаємо.

1. Інваріантні підпростори.

Нехай U підпростір векторного простору V _n , а φ – лінійний оператор, заданий на просторі V_n .

Означення. Підпростір U векторного простору V_n називається інваріантним відносно лінійного оператора φ, якщо образ φ кожного вектора із U належить цьому підпростору U , тобто

Приклади.

1. Розглянемо звичайний тривимірний простір V₃ і нехай φ – поворот навколо осі OZ. Інваріантними підпросторами будуть, наприклад, площина XOY і сама вісь OZ .

2. Розглянемо знову векторний простір V₃ і лінійний оператор φ, який полягає в ортогональному проектуванні векторного простору V ₃ на площину XOY . Інваріантними підпросторами будуть: площина XOY , сама вісь OZ , всі площини, які проходять через вісь OZ і всі прямі площини XOY , які проходять через початок координат.

3. В будь-якому векторному просторі кожен підпростір інваріантний відносно тотожного і нульового оператора.

4. В будь-якому векторному просторі сам простір і його підпростір, який складається тільки з нульового вектора, інваріантні відносно будь-якого лінійного оператора.

Доведемо, що перетин і сума підпросторів, інваріантних відносно лінійного оператора φ, інваріантні відносно цього оператора φ.

Нехай підпростори U ₁ і U ₂ – інваріантні відносно лінійного оператора , і нехай . Тоді і , а значить і , тобто . Отже, - інваріантний підпростір відносно оператора .

Нехай , де і . Тоді і , .Отже, – інваріантний підпростір відносно оператора .

Особливу роль відіграють одновимірні інваріантні підпростори.

2. Власні вектори і власні значення.

Означення . Власним вектором лінійного оператора φ називається ненульовий вектор , для якого виконується рівність , де – деяке число, яке називається власним значенням лінійного оператора, якому відповідає власний вектор .

Властивості власних векторів.

1. Якщо – власний вектор лінійного оператора з власним значенням , то вектор при будь-якому також є власним вектором з тим самим власним значенням .

2. Якщо , ,…, – власні вектори лінійного оператора , які належать до того самого власного значення , то будь-яка їхлінійна комбінація також буде власним вектором цього оператора з тим самим власним значенням .

3. Теорема. Власні вектори, які відповідають різним власним значенням, лінійно незалежні.

Доведення. Нехай , ,…, – власні вектори лінійного оператора , які відповідають різним власним значенням , відповідно, тобто . Доводимо теорему методом математичної індукції за кількістю векторів.