Учебное пособие: Кинематика и динамика поступательного движения

Промахи и грубые погрешности, – чрезвычайно большие ошибки, явно искажающие результаты измерения. Этот класс погрешностей вызван чаще всего неправильными действиями наблюдателя. Измерения, содержащие промахи, следует отбросить.

Для оценки полной погрешности необходимо знать и случайную и систематическую погрешности.

2. Оценка точности результатов одного прямого измерения

Если при повторении измерений в одних и тех же условиях 3 – 4 раза получено одно и то же значение, то это означает, что измерения не обнаруживают случайных изменений, а погрешность обусловлена только систематической погрешностью . Систематическая погрешность в данном случае определяется погрешностями измерительных приборов и часто называется инструментальной или приборной погрешностью . Есть несколько способов задания этой погрешности:

а) Для некоторых приборов инструментальная погрешность дается в виде абсолютной погрешности. Например, для штангенциркуля, в зависимости от конструкции его нониуса,– 0,1 мм или 0,05 мм , для микрометра – 0,01 мм .

б) Для характеристики большинства измерительных приборов часто используют понятие приведенной погрешности d _п (класса точности) .

Приведенная погрешность – это отношение абсолютной погрешности D х к предельному значению х_пр измеряемой величины (т.е. к наибольшему её значению, которое может быть измерено по шкале прибора). Приведенная погрешность обычно дается в процентах:

. (3)

По величине приведенной погрешности приборы разделяют на семь классов: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4 .

Зная класс прибора, можно рассчитать его абсолютную погрешность. Например, вольтметр имеет шкалу делений в пределах от 0 до 300 В (х_пр =300 В) и класс точности 0,5 . Тогда

.

в) В некоторых случаях используется смешанный способ задания инструментальной погрешности. Например, весы технические (Т–200) имеют класс точности 2 . В то же время указывается, что при нагрузке до 20 г абсолютная погрешность равна 5 мг , до 100 г – 50 мг , до 200 г – 100 мг . Набор школьных гирь относится 4-му классу точности, а допустимые погрешности масс гирь указаны в таблице 1.

Таблица 1

Номинальное значение, г	100	50	20	10	5	2	1
Абсолютная погрешность, мг	+40	+30	+20	+12	+8	+6	+4
Номинальное значение, г	500	200	100	50	20	10	5
Абсолютная погрешность, мг	± 3	± 2	± 1	± 1	± 1	± 1	± 1

Если, например, при взвешивании на таких весах с таким набором гирь получено значение массы тела 170 г (100 г + 50 г + 20 г) , то абсолютная погрешность взвешивания равна: D х = 40 + 30 + 20 + 100 = 200 (мг)=0,2(г).

г) В тех случаях, когда класс точности прибора не указан, абсолютная погрешность принимается равной половине цены наименьшего деления шкалы прибора . Так при измерении линейкой, наименьшее деление которой 1 мм, абсолютная погрешность равна 0,5 мм.

3. Статистический анализ случайных погрешностей

Пусть при повторении измерений одной и той же физической величины х в одинаковых условиях получены различные значения: x₁ , x₂ , …, x _n . Это означает, что есть причины, приводящие к случайному «разбросу» измеряемой величины x_i (помехи, трение и т. п.). В этом случае наилучшей оценкой измеряемой величиныявляется среднее арифметическое значение найденных значений x_i

, (4)

где n - число измерений.

При наличии случайных погрешностей появление того или иного значения величины x_i является случайным событием. Вероятность появления того или иного значения чаще всего определяется законом нормального распределения Гаусса . Распределение случайных погрешностей также чаще всего бывает нормальным. Поэтому распределение Гаусса может быть записано и как закон нормального распределения случайных погрешностей , которое при бесконечно большом числе измерений имеет вид:

. (5)

Наилучшей оценкой погрешности отдельного измерения в этом случае является стандартное отклонение (СО) :

. (6)

Величину s ² называют дисперсией .

На кривой нормального распределения случайных погрешностей (рис. 1) имеются две характерные точки перегиба А, А . Абсциссы этих точек равны ± s , т. е. стандартному отклонению. Можно показать, что вероятность появления погрешностей, не выходящих за пределы ± s , равна 0,6827 ( » 68 %) . Иначе говоря, при достаточно большом числе измерений (практически при n ³ 30 ) приблизительно 70 % результатов измерений будут попадать в интервал . В другой терминологии: «попадание результата

измерений в доверительный интервал гарантировано с надежностью a = 0,68 »

Конечно, надёжность измерений может быть задана и большая, чем 0,68 . В этом случае доверительный интервал расширяется и его границы могут быть рассчитаны с помощью так называемых коэффициентов Стьюдента. При выполнении учебных лабораторных работ вполне можно ограничиться надежностью a =0,68 .

Стандартное отклонение характеризует среднюю погрешность отдельных измерений. Результат измерений есть разумная комбинация всех n измерений, и поэтому имеются основания полагать, что он будет более надёжным, чем любое из отдельных измерений.

Стандартное отклонение среднего (СОС или SDOM - standard deviation of the mean ) равно стандартному отклонению s , деленному на :

. (7)

Таким образом, результат многократных измерений какой-либо физической величины должен представляться в виде:

. (8)

Чтобы учесть и случайную и систематическую погрешность, т.е. рассчитать полную погрешность измерений, обычно используют правило квадратичного сложения :

. (9)

4. Оценка точности косвенных измерений

Большинство физических величин обычно невозможно измерить непосредственно, и их определение включает два различных этапа. Сначала измеряют одну или более величин x,...,z, которые могут быть непосредственно измерены и, с помощью которых можно вычислить интересующую нас величину. Затем, используя измеренные значения x,..., z, вычисляют саму искомую величину. Если измерение включает эти два этапа, то и оценка погрешностей тоже включает их. Сначала надо оценить погрешности в величинах, которые измеряются непосредственно, а затем определить, к какой погрешности они приводят в конечном результате. При этом, конечно, необходимо учитывать вид функциональной связи между величинами.

Погрешность функции q=f(x,...,z) нескольких переменных x,...,z , измеренных с погрешностями D x,..., D z ... в случае, если погрешности независимы и случайны, определяется по формуле:

. (10)

Вычисления погрешности с помощью формулы (9) обычно оказываются достаточно громоздкими. Поэтому лучше производить поэтапное вычисление, используя некоторые правила, два из которых являются наиболее употребляемыми:

1. Абсолютная погрешность суммы и разности равна квадратичной сумме абсолютных погрешностей

. (11)