Учебное пособие: Непрерывность функции на интервале и на отрезке
Определение 3.3 Пусть - некоторая функция,
- её область определения и
- некоторый (открытый) интервал (может быть, с
и/или
)7 . Назовём функцию
непрерывной на интервале
если
непрерывна в любой точке
, то есть для любого
существует
(в сокращённой записи:
Пусть теперь - (замкнутый) отрезок в
. Назовём функцию
непрерывной на отрезке
, если
непрерывна на интервале
, непрерывна справа в точке
и непрерывна слева в точке
, то есть
Теорема 3.5 Пусть и
- функции и
- интервал или отрезок, лежащий в
. Пусть
и
непрерывны на
. Тогда функции
,
,
непpеpывны на
. Если вдобавок
пpи всех
, то функция
также непpеpывна на
.
Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 - пpедложение 3.3:
Предложение 3.4 Множество всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке
- это линейное пpостpанство:
Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.
Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке
, причём
и
- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что
, а
.) Тогда существует хотя бы одно такое значение
, что
(то есть существует хотя бы один корень
уравнения
).
Доказательство. Рассмотрим середину отрезка . Тогда либо
, либо
, либо
. В первом случае корень найден: это
. В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция
принимает значения разных знаков:
в случае
или
в случае
. Выбранную половину отрезка обозначим через
и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины
и
, где
, и найдём
. В случае
корень найден; в случае
рассматриваем далее отрезок
в случае
- отрезок
и т.д.
Рис.3.16. Последовательные деления отрезка пополам
Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень , либо будет построена система вложенных отрезков
в которой каждый следующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность - неубывающая и ограниченная сверху (например, числом
); следовательно (по теореме 2.13), она имеет предел
. Последовательность
- невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом
); значит, существует предел
. Поскольку длины отрезков
образуют убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем
), то они стремятся к 0, и
, то есть
. Положим, теперь
. Тогда
и
поскольку функция непрерывна. Однако, по построению последовательностей
и
,
и
, так что, по теореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7),
и
, то есть
и
. Значит,
, и
- корень уравнения
.
Пример 3.14 Рассмотрим функцию на отрезке
. Поскольку
и
- числа разных знаков, то функция
обращается в 0 в некоторой точке
интервала
. Это означает, что уравнение
имеет корень
.
Рис.3.17. Графическое представление корня уравнения
Доказанная теорема фактически даёт нам способ нахождения корня , хотя бы приближённого, с любой заданной наперёд степенью точности. Это- метод деления отрезка пополам, описанный при доказательстве теоремы. Более подробно с этим и другими, более эффективными, способами приближённого нахождения корня мы познакомимся ниже, после того, как изучим понятие и свойства производной.
Заметим, что теорема не утверждает, что если её условия выполнены, то корень - единственный. Как показывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке их 3).
Рис.3.18. Несколько корней функции, принимающей значения разных знаков в концах отрезка
Однако, если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на отрезке, в концах которого принимает значения разных знаков, то корень- единственный, так как строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно в одной точке, в том числе и значение 0.
Рис.3.19.Монотонная функция не может иметь более одного корня
Непосредственным следствием теоремы о корне непрерывной функции является следующая теорема, которая и сама по себе имеет очень важное значение в математическом анализе.
Теорема 3.7 (о промежуточном значении непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке
и
(будем для определённости считать, что
). Пусть
- некоторое число, лежащее между
и
. Тогда существует такая точка
, что
.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--