Учебное пособие: Непрерывность функции на интервале и на отрезке
Точно так же далее доказывается, что при всех
,
при всех
, ит.д. Итак,
- возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом
. Поэтому существует
. Из непрерывности функции
следует, что существует
, но
при
, так что предела не существует. Полученное противоречие доказывает, что функция
ограничена сверху.
Аналогично доказывается, что ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы.
Очевидно, что ослабить условия теоремы нельзя: если функция не является непрерывной, то она не обязана быть ограниченной на отрезке (приведём в качестве примера функцию
на отрезке . Эта функция не ограничена на отрезке, так как при
имеет точку разрыва второго рода, такую что
при
. Также нельзя заменить в условии теоремы отрезок интервалом или полуинтервалом: в качестве примера рассмотрим ту же функцию
на полуинтервале
. Функция непрерывна на этом полуинтервале, но неограничена, вследствие того что
при
.
Поиск наилучших постоянных, которыми можно ограничить функцию сверху и снизу на заданном отрезке, естественным образом приводит нас к задаче об отыскании минимума и максимума непрерывной функции на этом отрезке. Возможность решения этой задачи описывается следующей теоремой.
Теорема 3.9 (о достижении экстремума непрерывной функцией) Пусть функция непрерывна на отрезке
. Тогда существует точка
, такая что
при всех
(то есть
- точка минимума:
), и существует точка
, такая что
при всех
(то есть
- точка максимума:
). Иными словами, минимальное и максимальное8 значения непрерывной функции на отрезке существуют и достигаются в некоторых точках
и
этого отрезка.
Рис.3.24. Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума
Доказательство. Так как по предыдущей теореме функция ограничена на
сверху, то существует точная верхняя грань значений функции на
- число
. Тем самым, множества
,
,...,
,..., не пусты, и по предыдущей лемме в них есть наименьшие значения
:
,
. Эти
не убывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):
и ограничены сверху числом . Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел
Так как
, то и
по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть . Но при всех
, и в том числе
. Отсюда получается, что
, то есть максимум функции достигается в точке
.
Аналогично доказывается существование точки минимума.
В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию
на отрезке . Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что
) и
, однако значение1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что
, а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке
, так что при
предел
не равен значению функции в точке0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию
на интервале
. Очевидно, что функция непрерывна и что
и
, однако ни значения0, ни значения1 функция не принимает ни в какой точке интервала
. Рассмотрим также функцию
на полуоси
. Эта функция непрерывна на
, возрастает, принимает своё минимальное значение0 в точке
, но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом
и