Учебное пособие: Основные правила дифференцирования
Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.
Примеры. Найти дифференциалы функций:
1. 
2. 
.
Геометрический смысл дифференциала
Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy = NM1 . Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка
M1 (x+Δx; y+Δy).
Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтому dy = NT.
Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.
Теорема об инвариантности дифференциала
Ранее мы видели, что если u является независимой переменной, то дифференциал функции y=f '(u) имеет вид dy = f '(u)du.
Покажем, что эта форма сохраняется и в том случае, когда u является не независимой переменной, а функцией, т.е. найдем выражение для дифференциала сложной функции. Пусть y=f(u), u=g(x) или y = f(g(x)). Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:
.
Следовательно, по определению
,
но g'(x)dx= du, поэтому dy= f'(u)du.
Мы доказали следующую теорему.
Теорема. Дифференциал сложной функции y=f(u), для которой u=g(x), имеет тот же вид dy=f'(u)du, какой он имел бы, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной.
Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.
Пример. 
. Найти dy.
Учитывая свойство инвариантности дифференциала, находим
.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Пусть нам известно значение функции y0 =f(x0 ) и ее производной y0 ' = f '(x0 ) в точке x0 . Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.
Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0 )·Δx.
Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0 ), то f(x) – f(x0 )≈f'(x0 )·Δx.
Откуда
| f(x) ≈ f(x0 ) + f'(x0 )·Δx |
Примеры: