Учебное пособие: Вычисление определенного интеграла

Для нахождения определенного интеграла методом средних прямоугольников площадь, ограниченная прямыми a и b, разбивается на n прямоугольников с одинаковыми основаниями h, высотами прямоугольников будут точки пересечения функции f(x) с серединами прямоугольников (h/2). Интеграл будет численно равен сумме площадей n прямоугольников (рисунок 3).

???. 3 ??????? ??? ?????? y=f(x) ???????????????? ?????? ???????? ???????????????

,

n – количество разбиений отрезка [a,b].

Метод трапеций

Для нахождения определенного интеграла методом трапеций площадь криволинейной трапеции также разбивается на n прямоугольных трапеций с высотами h и основаниями у₁ , у₂ , у₃ ,..у_n , где n - номер прямоугольной трапеции. Интеграл будет численно равен сумме площадей прямоугольных трапеций (рисунок 4).

???. 4 ??????? ??? ?????? y=f(x) ???????????????? ?????? ???????? ????????????? ????????.

n – количество разбиений

(6)

Погрешность формулы трапеций оценивается числом

Погрешность формулы трапеций с ростом уменьшается быстрее, чем погрешность формулы прямоугольников. Следовательно, формула трапеций позволяет получить большую точность, чем метод прямоугольников.

Формула Симпсона

Если для каждой пары отрезков построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его на отрезке и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.

? ?????? ???????? ??? ?????????? ????????????? ????????? ???? ???????? ?????????????? [a,b] ??????????? ?? ???????????? ?????? ????? h=(b-a)/n. ????? ???????? ????????? ???????? ?????? ??????. ????? ?? ?????? ???? ???????? ????????????? ??????????????? ??????? f(x) ?????????? ??????????? ???????? ?????? ??????? (??????? 5).

???. 5 ??????? y=f(x) ?? ??????? ?????????? ??????????? 2-?? ???????

Рассмотрим подынтегральную функцию на отрезке . Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с y= в точках :

Проинтегрируем на отрезке .:

Введем замену переменных:

Учитывая формулы замены,

Выполнив интегрирование, получим формулу Симпсона:

Полученное для интеграла значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми , и параболой, проходящей через точки На отрезке формула Симпсона будет иметь вид:

В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х₁ , х₃ , ..., х_{2 n -1} имеет коэффициент 4, в четных точках х₂ , х₄ , ..., х_{2 n -2} - коэффициент 2 и в двух граничных точках х₀ =а, х_n =b - коэффициент 1.