С новым базисом поступаем так же в соответствии с содержанием шагов 1 и 2 . Если в результате этого оптимум не достигнут , то все шаги повторяем снова , причем каждый новый шаг заключается в переходе от базиса Б к новому базису Б^’ , такому , что значение F_б уменьшается или , по крайней мере , не увеличивается: F_{b ’} < F_b

Этот процесс оканчивается одним из трех случаев: либо находится оптимум , либо доказывается противоречивость ограничений , либо доказывается неограниченность целевой функции при базисных решениях , т. е. Тот случай , когда задача решений не имеет.

Проследим за этой последовательностью шагов на примерах.

Задача 4.2.1. Минимизировать F = X ₂ - X ₁ при неотрицательных X ₁ и X ₂ , удовлетворяющих системе ограничений:

Решение. Запишем ограничения как уравнения, выражающие базисные переменные через небазисные :

X₃ =2+2X₁ -X₂

X₄ = 2-X₁ +2X₂

X₅ = 5-X₁ -X₂

Пусть базис Б состоит из переменных X₃ ,X₄ ,X₅ . Тогда базисное решение -(0;0;2;2;5). Теперь надо выразить F через небазисные переменные . В нашем конкретном случае это, оказывается , уже сделано.

Проверим , достигла ли целевая функция своего минимального значения . Коэффициент при X₁ в выражении для F отрицателен. Следовательно, возрастание X₁ приведет к дальнейшему уменьшению F. Однако при увеличении X₁ переменные X₃ X₄ X₅ могут уменьшатся, и необходимо следить за тем, чтобы ни одна из них не стала отрицательной. Так как увеличение X₁ ведет к увеличению X₃ , то для этой переменной такой опасности не существует. Из анализа других базисных переменных получаем, что значение X₁ может быть увеличено до 2. Такое увеличение даст X₄ =0, X₃ =6, X₅ =3. Этот результат нас устраивает, так как число положительных переменных такое же, как и решение. Новый базис Б^’ состоит из X₁ , X₃ , X₅ . Чтобы приступить к выполнению следующего шага, выразим эти переменные и целевую функцию F через небазисные переменные X₂ и X₄ . Это легко сделать, если решить второе уравнение относительно новой базисной переменной X₁ , а подстановка этого выражения в остальные уравнения и целевую функцию F дает:

Коэффициент при X₂ функции F отрицателен. Поэтому можно и дальше уменьшать целевую функцию F, увеличивая X₂ .однако X₂ можно увеличивать не более, чем до 1: это следует из уравнения X₅ =3-3 X₂ + X₄ ( если X₂ >1, X₄ =0, то X₅ <0 ). Подстановка X₂ =1 в другие уравнения дает X₁ =4 и X₃ =9. Еще раз выразим базисные переменные и F через небазисные:

Базис Б^’’ состоит из переменных X₁ , X₂ , X₃ ,

Увеличивая X₄ и X₅ , мы уже не можем получить дальнейшего уменьшения F. Следовательно, нами получено оптимальное решение. Наименьшее значение F, равное -3, достигается при X₁ =4, X₂ =1, X₃ =9.

Сравним значение целевой функции, соответствующие различными базисами:

F_Б = 5, F_?? = - 2 , F_Б’’ = - 3, 5 > - 2 > - 3 .

Задача решена.

Производственный план

Составление плана (программы) колхоза, цеха , завода, отрасли промышленности является одной из важнейших задач экономики народного хозяйства. Решение таких задач осложняется тем, что приходится находить значение не двух и не трех переменных величин - число переменных может быть от нескольких десятков до нескольких сотен и даже тысяч. Рассмотрим простейшую задачу составления производственного плана.

Задание по курсовому проекту

Некоторому заводу требуется составить оптимальный по реализации производственный план выпуска трех видов изделий при определенных возможностях пяти видов машин. План выпуска должен быть таким, чтобы от реализации выпущенной по этому плану продукции завод получил бы наибольшую прибыль.

Все данные, необходимые для решения задачи, приведены в таблице ниже. В таблице указано все необходимое для обработки каждого изделия, предложенными машинами. Все изделия последовательно обрабатываются этими машинами. Время, необходимое для обработки каждого изделия задаётся таблицей. Нуль означает, что изделие машинами данного типа не обрабатывается.

Таблица 1 "Исходные данные"
Машины Изделия	1	2	3	4	5	Рj
I	0.5	2	2	1	0	22
II	0.5	1	0	2	0.5	36
III	2.	1	1	0.5	1	28
t	9	12	12	8	16

Завод от реализации одного изделия вида j получает Pj прибыли. Числовые данные этих переменных задаются следующими значениями:

t1=9, t2=12, t=12, t=8, t=16. Р1=22, Р2=36, Р3=28.

Хi – количество выпускаемой продукции.

Составим математическую модель задачи.