1. Дана функция f(x)=x^3-3x^2+1. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2; 1]. 2. Напишите уранение к касательной к графику функции f(x)=x^3-3x^2+2x+4 в т...

1) Задание Дана функция [latex]\displaystyle y=x^3-3x^2+1[/latex] найти промежутки возрастания и убывания По признаку возрастания и убывания функции на интервале: если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;  если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X. Найдем производную данной функции [latex]\displaystyle y`(x)=(x^3-3x^2+1)`=3x^2-6x[/latex] найдем точки экстремума, точки в которых производная равна нулю [latex]\displaystyle y`(x)=0\\ 3x^2-6x=0\\3x(x-2)=0\\x_1=0; x_2=2 [/latex] отметим точки на числовой прямой и проверим знак производной на промежутках ___+____-______+__          0             2 Значит на промежутках (-оо;0) ∪ (2;+оо) функция возрастает на промежутке (0;2) функция убывает точки х=0 точка минимума, х=2 точка максимума Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2; 1]. Заметим, что х=2 точка максимума не входит в данный промежуток, а х=0 принадлежит данному промежутку Проверим значение функции в точке х=0 и на концах отрезка [latex]\displaystyle y(0)=0-0+1=1\\y(-2)=-8-12+1=-19\\y(1)=1-3+1=-1 [/latex] Значит наибольшее значение функции на отрезке  [-2;1] в точке х=0 и у(0)=1 значит наименьшее значение функции на отрезке [-2;1] в точке х=-2 и у(-2)= -19 2. Напишите уравнение к касательной к графику функции f(x)=x^3-3x^2+2x+4 в точке с абсциссой x0=1. Уравнение касательной имеет вид [latex]\displaystyle y_{kac}=y(x_0)+y`(x_0)(x-x_0)[/latex] найдем производную данной функции [latex]\displaystyle y`(x)=(x^3-3x^2+2x+4)`=3x^2-6x+2[/latex] найдем значение функции и производной в точке х=1 [latex]\displaystyle y(1)=1-3+2+4=4\\y`(1)=3-6+2=-1[/latex] подставим значения в уравнение касательной [latex]\displaystyle y_{kac}=4-1(x-1)=4-x+1=5-x[/latex]