1. Найдите значение производной функции f(x)=7x^3-2x^2+3 в точке х =1 2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=2x^3-6x^2+7 на отрезке [1;4] 3. Исследуйте функцию f(x)=x^3+3x^2+2 и постройте ее график

1. f`(x) = 21x^2 - 4x    f`(1) = 21*1^2 - 4*1 = 21 - 4 = 17. 2. f`(x) = 6x^2 - 12x. 6x^2 - 12x = 0, 6x(x - 2) = 0, x = 0, x = 2 - критические точки. Первая точка не принадлежит отрезку [1; 4]. f(2) = 2*2^3 - 6*2^2 + 7 = 16 - 24 + 7 = -1. f(1) = 2*1^3 - 6*1^2 + 7 = 2 - 6 + 7 = 3.  f(4) = 2*4^3 - 6*4^2 + 7 = 128 - 96 + 7 = 39. max f(x) = f(4) = 39, min f(x) = f(2) = -1. 3. а) Область определения функции - вся числовая прямая. Проверим функцию на чётность/нечётность: f(-x) = (-x)^3 +3*(-x)^2 + 2. f(-x) =/ f(x), f(-x) =/ -f(x) , значит, данная функция не является чётной или нечётной. Функция непериодическая. б) Асимптоты, поведение функции на бесконечности. Так как функция непрерывна, то вертикальные асимптоты отсутствуют. k =  lim            f(x)  = lim x^3 + 3x^2 + 2 = +беск.      x->беск        x                     x Нет и наклонных асимптот. Выясним, как ведёт себя функция на бесконечности:   lim          x^3 + 3x^2 + 2 = + беск. x-> +беск Если идём вправо, то график уходит бесконечно вверх, если влево – бесконечно вниз. Таким образом, функция не ограничена сверху и не ограничена снизу. Учитывая, что у нас нет точек разрыва, становится понятна и область значений функции - любое действительное число. в) Нули функции и интервалы знакопостоянства. Пересечение графика с осью У: x = 0 -> f(0) = 2. Пересечение графика с осью X: f(x) = 0 -> x^3 + 3x^2 + 2 = 0. Такое уравнение имеет, как минимум, один действительный корень, и чаще всего этот корень иррационален.  г) Возрастание, убывание и экстремумы функции. Найдём критические точки: f`(x) = 3x^2 + 6x. 3x^2 + 6x = 0, 3x(x + 2) = 0, x = -2, x = 0.    +      -        + ------+-------+---------       -2       0  Следовательно, функция возрастает на (-беск; -2)u(0; +беск) и убывает на (-2; 0). f(-2) = -8 + 12 + 2 = 6 - максимум. f(0) = 0 + 0 + 2 = 2 - минимум. д) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Найдём критические точки второй производной: f``(x) = 6x + 6 = 0. x = -1. Определим знаки f``(x):    -      + ------+---------       -1 График функции является выпуклым на (-1; +беск) и вогнутым на (-беск; -1). Вычислим ординату точки перегиба: f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4. е) Найдем дополнительные точки, которые помогут точнее построить график