№1 Найти промежутки возрастания и убывания функции: а) f(x)=1/3x-x^3 б) f(x)=(x^2+1)/(x^2-3)

Решение a)  y = (1/3)*x - (x³) Находим промежутки возрастания и убывания функции:  Найдём первую производную: f'(x) =1/3  - 3x² Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю -9x² + 1 = 0 Откуда: x₁ = -1/3 x₂ = 1/3 (-∞ ;-1/3) f'(x) < 0 функция убывает (-1/3; 1/3) f'(x) > 0 функция возрастает (1/3; +∞) f'(x) < 0 функция убывает В окрестности точки x = -1/3 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = -1/3 - точка минимума. В окрестности точки x = 1/3 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 1/3 - точка максимума. б)  y = (x² + 1) / (x² - 3) Найдем точки разрыва функции. x² - 3 = 0 x² = 3 x₁ = - √3 x₂ = √3 Находим промежутки возрастания и убывания функции:  Находим первую производную. y` = [2x(x² - 3) - 2x(x² + 1)] / (x² - 3)² = (2x³ - 6x - 2x³ - 2x) / (x² - 3)² = = (- 8x) / (x² - 3)² Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю - 8x = 0 Откуда: x₁ = 0 (- ∞; - √3) f'(x) > 0 функция возрастает (- √3; 0) f'(x) > 0 функция возрастает (0 ; √3) f'(x) < 0 функция убывает (√3 ; +∞) f'(x) < 0  функция убывает В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 0 - точка максимума.