10 класс Определите все значения параметра, при которых уравнения x^2+ax+1=0 и x^2+x+a=0 имеют хотя бы один общий корень

Если уравнения имеют общий корень, то этот корень будет также корнем уравнения [latex] x^{2} +ax+1= x^{2} +x+a[/latex] Немного преобразуем это уравнение. [latex]ax+1=x+a[/latex] [latex]ax+1-x-a=0[/latex] [latex]ax-x-a+1=0[/latex] [latex]x(a-1)-(a-1)=0[/latex] [latex](a-1)(x-1)=0[/latex] [latex]a-1=0[/latex] или [latex]x-1=0[/latex] [latex]a=1[/latex] или [latex]x=1[/latex] Если a=1, то оба уравнения примут вид [latex] x^{2} +x+1=0[/latex] Дискриминант этого уравнения меньше нуля, поэтому, оно не имеет (действительных) корней, и этот случай нам не подходит. Если x=1, то, подставив это значение (например) в первое уравнение, получим: [latex]1^2+a*1+1=0[/latex] [latex]a+2=0[/latex] [latex]a=-2[/latex] При этом значении a первое уравнение принимает вид [latex]x^2-2x+1=0[/latex] Оно имеет единственный корень x=1. Второе уравнение при a=-2 принимает вид [latex]x^2+x-2=0[/latex] Оно имеет два корня: x=1 и x=-2. Данный случай нам подходит, так как при a=-2 уравнения имеют общий корень x=1. Получается, что единственный случай, который нам подходит - это a=-2. Ответ: {-2}.