.                  14. РH  –  высота  правильной  четырехугольной  пирамиды    РАВСD,  О  –  точка  пересечения медиан треугольника ВСР.   А) Докажите, что прямые РН и АО не имеют общих точек.  Б) Найдите угол между прямыми  РН...

Примем длину рёбер основания и высоту пирамиды равными 1. А) Необходимым и достаточным условием скрещивающихся прямых является неравенство: [latex] \left[\begin{array}{ccc}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\m_1&n_1&p_1\\m_2&n_2&p_2\end{array}\right] \neq 0.[/latex] Найдём координаты необходимых точек. Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат вершиной В в начало, ребром АВ по оси ОХ, ребром ВС по оси ОУ. Точка О находится на апофеме грани ВРС, её проекция - на перпендикуляре из точки Н на ребро ВС. на расстоянии (1/2)*(1/3) от ВС. А(1;0;0), О((1/6);0,5;(1/3)), вектор АО((-5/6);0,5;(1/3)). Р(0,5;0,5;1), Н(0,5;0,5;0),    вектор РН(0;0;-1). За точку 1 примем точку А, за точку 2 - точку Р. Составляем матрицу: [latex] \left[\begin{array}{ccc}-0,5&0,5&1\\-5/6&0,5&1/3\\0&0&-1\end{array}\right] =-1/6.[/latex] Так как  определитель  матрицы не равен нулю, то прямые не пересекаются, они скрещивающиеся. В) Находим угол между прямыми  РН и  АО. [latex]cos \alpha = \frac{ \frac{-5}{6}*0+0.5*0+ \frac{1}{3}*(-1) }{ \sqrt{( \frac{-5}{6})^2+0.5^2+( \frac{1}{3})^2 }* \sqrt{0+0+1} } = \frac{|-0,33333|}{1,0274} =0,3244.[/latex] Такому косинусу соответствует угол 1,2404 радиан или 71,0682°.