17. Докажите, что если H - точка пересечения высот треугольника ABC, а O - центр егоописанной окружности, то отрезок AH вдвое больше расстояния от точки O до середины стороны BC.

Тк центр описанной окружности  точка   пересечения  его  серединных  перпендикуляров,то  центр  лежит  на  любом ее  серединном перпендикуляре. А  тк  по  условию это  точка  сечения   высот,то  она  лежит на  любой  его  высоте  Тк  серединный  перпендикуляр  и  высота  на 1 и туже сторону  параллельны ,то  они не  перескаются,а  значит  они  могут иметь  общую  точку,лишь  когда  совпадают. А  значит высота  и его  медиана,то сторона 1=2,если взять  стороны 2 и 3,то из тех  же рассуждений выйдет  что 2=3,откуда треугольник  равносторонний,а  дальше все очевидно