1.Найдите область определения функции 2.Решите уравнение 3.Решите неравенство 4.Решите уравнение 5.Решите уравнение 6.решите систему уравнений 7.Доведите что число есть целым

1. [latex]y=\log_7(2x-9)[/latex] Подлогарифмическое выражение принимает положительное значение. 2x-9 > 0 x > 4.5 Область определения функции: [latex]D(y) = (4.5;+\infty)[/latex] 2. 1) [latex]\log_8x= \frac{1}{3} [/latex] ОДЗ:[latex]x\ \textgreater \ 0[/latex] Правую часть уравнения запишем по свойству логарифмов[latex]\log_aa^b=b[/latex], тоесть, в нашем случае так будет: [latex]\log_8x=\log_88^{\frac{1}{3}}[/latex] Основания логарифмов одинаковы, значит имеем: [latex]x=8^{\frac{1}{3}}=(2^3)^{\frac{1}{3}}=2[/latex] Ответ: [latex]2.[/latex] 2) [latex]\log_{11}(x^2-8x+25)=\log_{11}10[/latex] ОДЗ: [latex]x^2-8x+25\ \textgreater \ 0[/latex] очевидно, что ОДЗ у нас будет принимать при любых х, т.е. представим левую часть как [latex](x-4)^2+9\ \textgreater \ 0[/latex], отсюда следует, что при всех значениях х неравенство верное. Основания одинаковы, значит по свойство логарифмов [latex]x^2-8x+25=10\\ x^2-8x+15=0[/latex] По т. Виета: [latex]x_1=3;\,\,\, x_2=5[/latex] Ответ: [latex]3;5.[/latex] 3. [latex]\log_3(x+2) \leq \log_34[/latex] ОДЗ : [latex]x+2\ \textgreater \ 0[/latex] отсюда следует, что [latex]x\ \textgreater \ -2[/latex] Так как основания [latex]3\ \textgreater \ 1[/latex], функция возрастающая, а значит знак неравенства не меняется, тоесть:  [latex]x+2 \leq 4\\ x \leq 2[/latex] C учетом ОДЗ имеем общее решение [latex]-2\ \textless \ x \leq 2[/latex] Ответ: [latex]x \in (-2;2][/latex] 4. 1)[latex]\log_4(x+3)+\log_4(x+15)=3[/latex] ОДЗ: [latex]\begin{cases} & \text{ } x+3\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } x+15\ \textgreater \ 0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x\ \textgreater \ -3 \\ & \text{ } x\ \textgreater \ -15 \end{cases}\Rightarrow\boxed{x\ \textgreater \ -3}[/latex] По свойству логарифмов: [latex]\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)[/latex] [latex]\log_4((x+3)(x+15))=3\\ \log_4((x+3)(x+15))=\log_44^3\\ (x+3)(x+15)=4^3\\ x^2+18x+45=64\\ x^2+18x-19=0[/latex] По т. Виета:  [latex]x_1=-9\\ x_2=1[/latex] Корень [latex]x_1=-19 [/latex] не удовлетворяет ОДЗ Ответ: [latex]1.[/latex] 2) [latex]2\log_2^2x+3\log_2x^3=5[/latex] ОДЗ: [latex]x\ \textgreater \ 0[/latex] В левой части уравнения второе слагаемое перепишем по свойству логарифмов [latex]\log_ab^c=c\log_ab[/latex], тоесть: [latex]2\log_2^2x+3\cdot 3\log_2x=5\\ 2\log_2^2x+9\log_2x=5[/latex] Пусть [latex]\log_2x=t\,\,(t\in R)[/latex], тогда [latex]2t^2+9t-5=0[/latex] Решаем обычное квадратное уравнение [latex]D=b^2-4ac=9^2-4\cdot2\cdot(-5)=121;\,\, \sqrt{D} =11\\ t_1= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{-9+11}{2\cdot2} =-0.5;\\ t_2= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{-9-11}{2\cdot2} =-5[/latex] Обратная замена: [latex]\log_2x=-0.5;\,\,\,\Rightarrow\,\,\,x=2^{-0.5}= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \log_2x=-5;\,\,\,\Rightarrow\,\,\, x=2^{-5}= \frac{1}{32} [/latex] Ответ: [latex]\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{32} [/latex] 5. [latex]\lg^2x-\lg x-2\ \textgreater \ 0[/latex] ОДЗ: [latex]x\ \textgreater \ 0[/latex] Приравниваем к нулю. [latex]\lg^2x-\lg x-2=0[/latex] Пусть [latex]\lg x=t[/latex], тогда получаем [latex]t^2-t-2=0[/latex] По т. Виета:  [latex]t_1=2;\,\,t_2=-1[/latex] Обратная замена: [latex]\lg x=2\\ \lg x=\lg 10^2\\ x_1=100;\,\,\, \lg x= -1\\ \lg x=\lg 10^{-1}\\ x=0.1[/latex] ___+___(0.1)__-____(100)____+_____ [latex]x \in (-\infty;0.1)\cup(100;+\infty)[/latex] С учетом ОДЗ, общее решение: [latex]x \in (0;0.1)\cup(100;+\infty)[/latex] Ответ: [latex]x \in (0;0.1)\cup(100;+\infty)[/latex] 6. [latex]\begin{cases} & \text{ } \log_yx+9\log_xy=6 \\ & \text{ } xy=16 \end{cases}[/latex] ОДЗ: [latex]\begin{cases} & \text{ } x\ne 1 \\ & \text{ } y\ne1 \\ & \text{ } y\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } x\ \textgreater \ 0 \end{cases}[/latex] В (1) уравнение, второе слагаемое перейдем к новому основанию   [latex]\begin{cases} & \text{ } \log_yx+9\cdot \frac{\log_yy}{\log_yx}=6 \\ & \text{ } xy= 16 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } \log_y \frac{16}{y}+9\cdot \frac{1}{\log_y \frac{16}{y} } =6 \\ & \text{ } x= \frac{16}{y} \end{cases}[/latex] По свойству логарифмов: [latex]\log_ab-\log_ac=\log_a \frac{b}{c} [/latex] [latex]\log_y16-\log_yy+9\cdot \frac{1}{\log_y16-\log_yy} =6\\ \log_y16-1+9\cdot \frac{1}{\log_y16-1}=6 [/latex] Пусть [latex]\log_y16=t[/latex], получаем [latex]t+ \frac{9}{t-1}=7|\cdot(t-1)\\ t^2-t+9=7t-7\\ t^2-8t+16=0\\ (t-4)^2=0\\ t=4 [/latex] Обратная замена: [latex]\log_y16=4\\ \log_y16=\log_yy^4\\ y^4=16\\ y^4=2^4\\ y=2[/latex] Итак, нашли значение у, теперь осталось найти х [latex]x= \frac{16}{y}=8 [/latex] Ответ: [latex](8;2)[/latex] 7. [latex]\log_{8+3 \sqrt{7} }(8-3 \sqrt{7} )\,\,\,\boxed{=}[/latex] Домножим на сопряженное([latex]8+3 \sqrt{7} [/latex]) [latex]\boxed{=}\,\,\log_{8+3 \sqrt{7} } \frac{8^2-(3 \sqrt{7})^2 }{8+3 \sqrt{7} } =\log_{8+3 \sqrt{7} } \frac{64-63}{8+3 \sqrt{7} } =\log_{8+3 \sqrt{7} }(8+3 \sqrt{7} )^{-1}=-1[/latex] Что и требовалось доказать