1)Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющими переменными xy'+y=0 2)Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (1-x^2)dx/dy + xy =0, если x=0, y=4. 3)Найти решение однород...

1) [latex]xy'+y=0[/latex] Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно производной [latex]y'=- \dfrac{y}{x} [/latex] - уравнение с разделяющимися переменными Воспользуемся определением дифференциала [latex] \dfrac{dy}{dx} =- \dfrac{y}{x} \\ \\ \dfrac{dy}{y} =- \dfrac{dx}{x} [/latex] Интегрируя обе части уравнения, получаем [latex]\ln|y|=\ln| \frac{1}{x} |+\ln C\\ \\ \ln|y|=\ln| \frac{C}{x}| [/latex] [latex]y= \dfrac{C}{x} [/latex] - общее решение [latex](1-x^2) \frac{dx}{dy} +xy=0\\ \\ (1-x^2) \frac{dx}{dy} =-xy[/latex] Разделяем переменные [latex] \dfrac{(x^2-1)dx}{x} = ydy[/latex] интегрируя обе части уравнения, получаем [latex]-\ln|x|+ \dfrac{x^2}{2} = \dfrac{y^2}{2} +C[/latex] - общий интеграл Решение задачи Коши нет, т.к. при х=0 логарифм ln0 не существует Пример 3. [latex]x^2+y^2-2xy\cdot y'=0[/latex] Убедимся, является ли дифференциальное уравнение однородным. [latex](\lambda x)^2+(\lambda y)^2-2\cdot\lambda x\cdot \lambda y\cdot y'=0 |:\lambda^2\\ \\ x^2+y^2-2xyy'=0[/latex] Итак, дифференциальное уравнение является однородным. Исходное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными если сделаем замену  [latex]y=ux[/latex], тогда [latex]y'=u'x+u[/latex] Подставляем в исходное уравнение [latex]x^2+u^2x^2-2x\cdot ux(u'x+u)=0\\ \\ x^2(1+u^2-2uu'x-2u^2)=0\\ \\ x=0\\ \\ 1-u^2-2uu'x=0\\ \\ u'= \dfrac{1-u^2}{2ux} [/latex] Получили уравнение с разделяющимися переменными Воспользуемся определением дифференциала [latex] \dfrac{du}{dx} =\dfrac{1-u^2}{2ux}[/latex] Разделяем переменные [latex] \dfrac{du^2}{1-u^2} = \dfrac{dx}{x} [/latex] Интегрируя обе части уравнения, получаем [latex]\ln\bigg| \dfrac{1}{1-u^2} \bigg|=\ln|Cx|[/latex] [latex] \dfrac{1}{1-u^2} =Cx[/latex] Обратная замена [latex] \dfrac{x^2}{x^2-y^2} =Cx[/latex] - общий интеграл Пример 4. [latex]y''-4y'+4=0[/latex] Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами также однородное. Воспользуемся методом Эйлера Пусть [latex]y'=e^{kx}[/latex], тогда будем иметь характеристическое уравнение следующего вида: [latex]k^2-4k+4=0\\ (k-2)^2=0\\ k_{1,2}=2[/latex] Тогда общее решение будет иметь вид: [latex]y=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}[/latex] - общее решение  Пример 5. [latex]y''+4y'-5y=0[/latex] Аналогично с примером 4) Пусть [latex]y=e^{kx}[/latex], тогда получаем [latex]k^2+4k-5=0\\ (k+2)^2-9=0\\ \\ k+2=\pm 3\\ k_1=1\\ k_2=-5[/latex] Общее решение: [latex]y=C_1e^{x}+C_2e^{-5x}[/latex] Найдем производную функции [latex]y'=C_1e^x-5C_2e^{-5x}[/latex] Подставим начальные условия [latex]\displaystyle \left \{ {{4=C_1+C_2} \atop {2=C_1-5C_2}} \right. \to \left \{ {{C_1=4-C_2} \atop {2=4-C_2-5C_2}} \right. \to \left \{ {{C_1= \frac{11}{3} } \atop {C_2=\frac{1}{3} }} \right. [/latex] [latex]y=\frac{11}{3} e^x+\frac{1}{3} e^{-5x}[/latex] - частное решение