2.Из точки A проведены к плоскости ALFA две наклонные, длины которых 18 и 2√109. Их проекции на эту плоскость относятся как 3 : 4. Найдите расстояние от точки А до плоскости ALFA.

Обозначим наклонные L1=18   ; L2 = 2√109. Проекции  l1 = 3x  ;  l2= 4x Пусть проекция точки А на плоскость – точка А1 АА1 – перпендикуляр к  плоскости. Между проекций и перпендикуляром прямой угол. Наклонная, проекция и перпендикуляр  образуют прямоугольный треугольник. Наклонная – ГИПОТЕНУЗА Проекция и перпендикуляр  - КАТЕТЫ Имеем два прямоугольных  треугольника, с общей стороной – АА1. По теореме Пифагора АА1^2= L1^2-l1^2=18^2-(3x)^2  - для первого  треугольника АА1^2= L2^2-l2^2=(2√109)^2-(4x)^2    - для первого  треугольника Приравняем правые части 18^2-(3x)^2  = (2√109)^2-(4x)^2    324-9x^2  = 436-16x^2    7x^2= 112 X^2=16 X= 4 Тогда проекция  l1=3x=3*4=12 АА1^2= 18^2-12^2  =180 AA1 =6 √5 Ответ   6 √5

Пусть наклонные L1=18   ; L2 = 2[latex]\sqrt{109}[/latex]. Проекции  [latex]l1 = 3x\ l2= 4x[/latex] Пусть проекция  А А1 АА1 – перпендикулярно [latex]\alpha[/latex] по т Пиф [latex]AA1^2= L1^2-l1^2=18^2-(3x)^2[/latex]  - для одного [latex]AA1^2= L2^2-l2^2=(2\sqrt{109})^2-(4x)^2[/latex]    - для другого тогда [latex]18^2-(3x)^2 = (2\sqrt{109})^2-(4x)^2 [/latex]   [latex]324-9x^2 = 436-16x^2 [/latex]   [latex]7x^2= 112\\ x^2=16\\ x= 4\\[/latex]    [latex] l1=3x=3*4=12[/latex] [latex]AA1^2= 18^2-12^2 =180[/latex] [latex]AA1 =6\sqrt{5}[/latex]