3. Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей....

Это будут числа 1, 2, 4 A, B и C — числа. AA + AB + AC + BA + BB + BC + CA + CB + CC = 231. AA + AB + AC + BA + BB + BC + CA + CB + CC = 231. Приведем к десятичной форме записи: A * 10 + A + A * 10 + B + A * 10 + C + B * 10 + A + B * 10 + B + B * 10 + C + C * 10 + A + C * 10 + B + C * 10 + C = 231. Сгруппируем: A * 10 + A * 10 + A * 10 + A + A + A + B * 10 + B * 10 + B * 10 + B + B + B + C * 10 + C * 10 + C * 10 + C + C + C = 231. 33 * A + 33 * B + 33 * C = 231. 33 * (A + B + C) = 231. A + B + C = 7. Сумма чисел состоящих из одной цифры должна быть равна 7. Чтобы сумма этих чисел не превышала 7, первое число (A) должно быть меньше 7 на 2 (5 + 1 +1), но такие значения противоречат условию задачи (Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля, поэтому и A ≠ 0, и B ≠ 0, и C ≠ 0, а так же A ≠ B ≠ C), поэтому первое число должно быть еще меньше на 1 (4 + 1 + 2). Это не противоречит условию задачи. Получим 11 + 12 + 14 + 21 + 22 + 24 + 41 + 42 + 44 = 231. От перемены мест слагаемых сумма не меняется. 21 + 22 + 24 + 11 + 12 + 14 + 41 + 42 + 44 = 231. 41 + 42 + 44 + 21 + 22 + 24 + 11 + 12 + 14 = 231.