4) В правильном восьмиугольнике ABCDEFGH проведены диагонали CH и DG. Докажите, что четырехугольник CDGH - прямоугольник, и выразите его стороны через сторону восьмиугольника.

Раз восьмиугольник правильный, значит все его стороны равны и все углы тоже. Угол такого восьмиугольника можно найти по формуле (где n - количество углов): [latex] \frac{180(n-2)}{n} = \frac{180*6}{8} =135[/latex] градусов, значит, каждый угол восьмиугольника равен 135 градусов. Рассмотрим четырёхугольник АВСН, в нём два угла по 135 градусов и два по х градусов (АВ параллельна СН так как точки А и В равноудалены от точек С и Н, это получилась равнобедренная трапеция). В выпуклом четырёхугольнике сумма углов равна 360 градусов, таким образом 2х=90 градусов, следовательно, х=45 градусов. Отсюда мы можем найти углы DСН и GНС, которые равны по 135-х=90 градусов. Аналогично углы СDG и DGН равны по 90 градусов, значит, CDGH - прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна стороне восьмиугольника, теперь найдём вторую. Для этого опустим в трапеции АВСН высоты [latex]AH_{1}[/latex] и [latex]BH_{2}[/latex]. [latex]CH=CH_{2}+H_{1}H_{2}+HH_{1}[/latex].  [latex]H_{1}H_{2}=AB[/latex], потому что получился прямоугольник, а [latex]CH_{2}=HH_{1}=AHcos45= \frac{ \sqrt{2}AB }{2} [/latex] Таким образом стороны прямоугольника равны АВ и [latex]AB*( \sqrt{2}+1 )[/latex]