Ответ(ы) на вопрос:
Гостьв)
Треугольник [latex] \Delta ABQ [/latex] – равнобедренный, так как его боковые стороны образованы радиусами окружности. С другой стороны сумма углов любого треугольника равна [latex] 180^o . [/latex] А значит сумма оставшихся углов [latex] \angle QAB [/latex] и [latex] \angle QBA [/latex] равна [latex] 120^o . [/latex] В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а значит, эти углы равны между собой:
[latex] \angle QAB = \angle QBA \ ; [/latex]
[latex] \angle QAB + \angle QBA = 120^o \ ; [/latex]
Откуда следует, что: [latex] \angle QAB = \angle QBA = 60^o \ ; [/latex]
Стало быть, это не просто равнобедренный треугольник, а равносторонний. Т.е.:
[latex] BC = AB = AQ = BQ = \sqrt{2} \ ; [/latex]
Углы [latex] \angle CAK \ [/latex] и [latex] \angle CKB \ [/latex] – опираются на одну и ту же дугу [latex] KB \ , [/latex] второй – как угол между хордой и касательной. Из этого следует, что:
[latex] \angle CAK = \angle CKB \ ; [/latex]
В треугольниках [latex] \Delta CAK \ [/latex] и [latex] \Delta CKB \ [/latex] равны два угла (один у них общий), а значит эти треугльники подобны: [latex] \Delta CAK \sim \Delta CKB \ ; [/latex]
На этом основании составим пропорцию:
[latex] \frac{AC}{CK} = \frac{CK}{BC} \ ; [/latex]
[latex] AC \cdot BC = CK^2 \ ; [/latex]
[latex] CK = \sqrt{ AC \cdot BC } \ ; [/latex]
Поскольку [latex] BC = AB \ , [/latex] то [latex] AC = 2AB = 2 \sqrt{2} \ . [/latex]
[latex] CK = \sqrt{ AC \cdot BC } = \sqrt{ 2 AB \cdot AB } = \sqrt{ 2 AB^2 } = AB \sqrt{2} \ ; [/latex]
[latex] CK = AB \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \ . [/latex]
Кроме касательной [latex] CK \ [/latex] так же можно построить ещё и касательную [latex] CK' \ [/latex] по другую сторону от окружности. Заметим, что треугольники [latex] \Delta CKQ = \Delta CK'Q \ , [/latex] как прямоугольные по катету и гипотенузе, а значит, равны и [latex] CK = CK' \ . [/latex]
О т в е т : CK = CK' = 2 .
г)
Проведём касательную [latex] MK \ [/latex] из той же точки [latex] M \ . [/latex]
Углы [latex] \angle MAK \ [/latex] и [latex] \angle MKB \ [/latex] – опираются на одну и ту же дугу [latex] KB \ , [/latex] второй – как угол между хордой и касательной. Из этого следует, что:
[latex] \angle MAK = \angle MKB \ ; [/latex]
В треугольниках [latex] \Delta MAK \ [/latex] и [latex] \Delta MKB \ [/latex] равны два угла (один у них общий), а значит эти треугольники подобны: [latex] \Delta MAK \sim \Delta MKB \ ; [/latex]
На этом основании составим пропорцию:
[latex] \frac{MA}{MK} = \frac{MK}{MB} \ ; [/latex]
[latex] MA \cdot MB = MK^2 \ ; [/latex]
Поскольку точки A и B были выбраны произвольно, то точно такие же рассуждения относятся и к точкам C и D с той же касательной MK. Из этого следует, что:
[latex] MC \cdot MD = MK^2 \ ; [/latex]
Сопоставляя два последних равенства, получаем, что: [latex] MA \cdot MB = MK^2 = MC \cdot MD \ . [/latex]
[latex] MA \cdot MB = MC \cdot MD \ , [/latex] что и требовалось доказать.
Не нашли ответ?
Похожие вопросы