7. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной.

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, прове-  дённому в точку касания. Дано: окр (О;ОА) р – касательная к окружности,  А – точка касания. Доказать: р перпендикулярна ОА.  Доказательство (методом от противного)  Предположим, что р не перпендикулярна ОА  В этом случае радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки, т.е. р – секущая. Но это противоречит условию теоремы, что р - касательная к окружности. Так как получили противоречие, то предположение, что р не перпендикулярно ОА было неверным, значит, р перпендикулярна ОА. Итак, касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Верна и теорема, обратная теореме о свойстве касательной - признак касательной.  Теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.  Дано: окр (О;ОА), р, А принадлежит р, р перпендикулярна ОА  Доказать: р – касательная к окр (О;ОА).  Доказательство  По условию р принадлежит ОА, ОА – радиус окружности, поэтому расстояние от центра окружности до прямой р равно радиусу ОА. Следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. А это означает, что данная прямая р является касательной к окружности. Итак, если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.