70 и 71..................................8 класс

70. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВН и СВН. Они равны по двум катетам (ВН - общий, АН=СН по условию). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и против равных углов лежат равные стороны. Тогда: Против равных сторон АН и СН лежат равные углы АВН и СВН, в сумме дающие прямой угол. Тогда, каждый из них равен по 45 градусов. Значит, и углы НАВ и НСВ равны по 45 градусов, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов (пункт в). Получается, что в прямоугольном треугольнике АВН острые углы равны, значит он равнобедренный и АН=ВН (пункт а). Против равных углов НВА и НВС лежат равные стороны АН и СН, в сумме дающие АС. Уже доказано, что АН=ВН, значит и СН=ВН. Тогда, заменив в равенстве АН+СН=АС стороны АН и СН на ВН, получим: ВН+ВН=АС или 2ВН=АС (пункт б). 71. Рассмотрим подобные прямоугольные треугольники АВС и НВС. Отношение сходственных сторон: [latex] \frac{AC}{HC} = \frac{AB}{BC} = \frac{BC}{BH} [/latex] Из последних двух отношений получим: [latex]BC^2=AB\cdot BH \\\ BC= \sqrt{AB\cdot BH} \\\ BC= \sqrt{BH(AH+BH)} [/latex] Аналогично, для стороны АС выражение примет вид: [latex]AC= \sqrt{AH(AH+BH)}[/latex] Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между этим катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. Подставляем значения: а) [latex]AC= \sqrt{AH(AH+BH)} =\sqrt{12\cdot(12+4)} =\sqrt{12\cdot16} =2 \sqrt{3} \cdot4=8 \sqrt{3} \\\ BC= \sqrt{BH(AH+BH)} =\sqrt{4\cdot(12+4)} =\sqrt{4\cdot16} =2\cdot4=8[/latex] б) [latex]AC= \sqrt{AH(AH+BH)} =\sqrt{6\cdot(6+3)} =\sqrt{6\cdot9} =3 \sqrt{6} \\\ BC= \sqrt{BH(AH+BH)} =\sqrt{3\cdot(6+3)} =\sqrt{3\cdot9} =3 \sqrt{3} [/latex] в) [latex]AC= \sqrt{AH(AH+BH)} =\sqrt{a\cdot(a+a)} =\sqrt{a\cdot2a} =a \sqrt{2} \\\ BC= \sqrt{BH(AH+BH)} =\sqrt{a\cdot(a+a)} =\sqrt{a\cdot2a} =a \sqrt{2}[/latex] г) [latex]AC= \sqrt{AH(AH+BH)} =\sqrt{a\cdot(a+b)} =\sqrt{a^2+ab} \\\ BC= \sqrt{BH(AH+BH)} =\sqrt{b\cdot(a+b)} =\sqrt{ab+b^2} [/latex]

***************************************