99 баллов!!! 2 вопроса. 1.На рисунке изображены окружности с центрами в точках(см.рисунок).Отрезками соединены центры касающихся окружностей.Известно, что АВ=16,ВС=14,СD=17,DЕ=13,АЕ=14.В какой точке находится центр окружности н...

1. Обозначим радиусы окружностей, соответствуюх их центрам, как: [latex] R_A , R_B , R_C , R_D \ [/latex]   и   [latex] R_E \ . [/latex] Тогда мы можем составить систему уравнений: [latex] \left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = AB \ , \\ R_B + R_C = BC \ , \\ R_C + R_D = CD \ , \\ R_D + R_E = DE \ , \\ R_E + R_A = EA \ ; \end{array}\right [/latex] [latex] \left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_B + R_C = 14 \ , \\ R_C + R_D = 17 \ , \\ R_D + R_E = 13 \ , \\ R_E + R_A = 14 \ ; \end{array}\right [/latex] [latex] \left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_B + R_C = 14 \ , \\ R_C + R_D = 17 \ , \\ ( R_E + R_A ) - ( R_D + R_E ) = 14 - 13 \ ; \end{array}\right [/latex] [latex] \left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_B + R_C = 14 \ , \\ R_C + R_D = 17 \ , \\ R_A - R_D = 1 \ ; \end{array}\right [/latex] [latex] \left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_B + R_C = 14 \ , \\ R_C + R_D + R_A - R_D = 17+1 \ ; \end{array}\right [/latex] [latex] \left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_B + R_C = 14 \ , \\ R_C + R_A = 18 \ ; \end{array}\right [/latex] [latex] \left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ ( R_C + R_A ) - ( R_B + R_C ) = 18 - 14 \ ; \end{array}\right [/latex] [latex] \left\{\begin{array}{l} R_A + R_B = 16 \ , \\ R_A - R_B = 4 \ ; \end{array}\right [/latex] [latex] R_A + R_B + R_A - R_B = 16 + 4 \ ; [/latex] [latex] 2 R_A = 20 \ ; [/latex] [latex] R_A = 10 \ ; [/latex] [latex] R_B = 6 \ ; [/latex] [latex] R_C = 8 \ ; [/latex] [latex] R_D = 9 \ ; [/latex] [latex] R_E = 4 \ ; [/latex] Наибольшим является радиус окружности, построенной около центра A. О т в е т : A . 2. Исходя из того, что в любом треугольнике сумма углов равна   [latex] 180^o \ , [/latex]   легко понять, что   [latex] \angle BCA = 120^o \ . [/latex] Для любого треугольника верно, что отношение любой его стороны к синусу противолежащего угла – постоянно, тогда: [1]    [latex] \frac{AB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{CB}{ \sin{ 45^o } } \ ; [/latex] Проведём   [latex] CN \ [/latex]   так, чтобы   [latex] \angle BCN = 45^o \ . [/latex] Тогда   [latex] \angle CNB = 120^o \ . [/latex] Опять же из соотношения синусов: [2]    [latex] \frac{CB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{NB}{ \sin{ 45^o } } \ ; [/latex] Перемножим выражения [1] и [2]: [latex] \frac{AB}{ \sin{ 120^o } } \cdot \frac{CB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{CB}{ \sin{ 45^o } } \cdot \frac{NB}{ \sin{ 45^o } } \ ; [/latex] [latex] \frac{AB}{ \sin^2{ 120^o } } = \frac{NB}{ \sin^2{ 45^o } } \ ; [/latex] [3]   [latex] AB \sin^2{ 45^o } = NB \sin^2{ 120^o } \ ; [/latex] Учитывая, что:   [latex] \sin{ 120^o } = \sin{ 60^o } = \frac{ \sqrt{3} }{2} \ [/latex]   и   [latex] \sin{ 45^o } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \ , [/latex]   а значит: [latex] \sin^2{ 120^o } = \frac{3}{4} \ [/latex]   и   [latex] \sin{ 45^o } = \frac{1}{2} \ , [/latex]   получим из выражения [3] : [latex] AB \cdot \frac{1}{2} = NB \frac{3}{4} \ ; [/latex] [latex] AB = NB \frac{3}{2} \ ; [/latex] [latex] NB = \frac{2}{3} AB \ ; [/latex] Это как раз и позволит разрешить поставленный вопрос. [latex] NA = \frac{1}{3} AB \ ; [/latex] т.е.: NA : NB = 1 : 2 = CA : CM . По Теореме Фалеса, пропорциональные отрезки на сторонах треугольника отсекаются параллельными прямыми, а значит: [latex] MB || CN \ ; [/latex] [latex] \angle M = \angle NCA = 180^o - 60^o - 45^o = 75^o \ ; [/latex] О т в е т : [latex] 75^o \ . [/latex]