А, b, c положительные целые числа большие чем 1, такое, что (c + 1) | (a+b), (a+ 1) | (b + c), (b + 1) | (с + а) , Найти наибольшее возможное значение a+b+ c.

Все отношения между числами симметричные, т.е. если взаимно поменять местами, скажем, [latex] a [/latex] и [latex] b , [/latex] то ничего не изменится, всё будет работать как прежде. Значит, мы можем переставить все числа, так, чтобы оказалось, что [latex] c > b > a > 1 . [/latex] Введём новые переменные [latex] \{ x , y , k , m , n \} \in N . [/latex] И будем искать такие комбинации [latex] a, a+x, a+x+y , [/latex] чтобы [latex] ( [ a + 1 ] + x + y ) | ( 2a+x ) , [/latex] [latex] ( [ a + 1 ] + x ) | ( 2a+x+y ) [/latex] и [latex] ( a + 1 ) | ( 2a+2x+y ) . [/latex] Начнём с первого требования, оно эквивалентно утверждению, что: [latex] k ( [ a + 1 ] + x + y ) = 2a + x [/latex] ; [latex] (k-1) x + ky = 2a - k [ a + 1 ] [/latex] ; При [latex] k > 1 , [/latex] правая часть отрицательная, а левая положительна, что не возможно. Значит, [latex] k = 1 \ ; \ \Rightarrow y = a - 1 [/latex] ; Теперь подставим вместо [latex] y [/latex] его значение [latex] y = a - 1 [/latex] и будем искать такие комбинации [latex] a, a+x, 2a+x-1 , [/latex] чтобы: [latex] ( 2a + x ) | ( 2a+x ) [/latex] – теперь всегда будет выполняться с [latex] k = 1 , [/latex] [latex] ( [ a + 1 ] + x ) | ( 3a+x-1 ) [/latex] и [latex] ( a + 1 ) | ( 3a+x-1 ) . [/latex] Проанализируем второе требование, оно эквивалентно утверждению, что: [latex] m ( [ a + 1 ] + x ) = 3a+x-1 [/latex] ; [latex] (m-1) x = 3a - 1 - m [ a + 1 ] [/latex] ; При [latex] m > 2 , [/latex] правая часть отрицательная, а левая положительна, что не возможно. При [latex] m = 1 \ ; \ \Rightarrow 0 = 2a - 2 \ ; \ \Rightarrow a = 1 , [/latex] но это не подходит по условию. Значит, [latex] m = 2 \ ; \ \Rightarrow x = a - 3 [/latex] ; Теперь подставим вместо [latex] x [/latex] его значение [latex] x = a - 3 [/latex] и будем искать такие комбинации [latex] a, 2a-3, 3a-4 , [/latex] чтобы: [latex] ( 3 [ a - 1 ] ) | ( 3 [ a - 1 ] ) [/latex] – теперь всегда будет выполняться с [latex] k = 1 , [/latex] [latex] ( 2 [ a - 1 ] ) | ( 4 [ a - 1 ] ) [/latex] – теперь всегда будет выполняться с [latex] m = 2 , [/latex] [latex] ( a + 1 ) | ( 5a-7 ) . [/latex] Проанализируем последнее требование, оно эквивалентно утверждению, что: [latex] n ( a + 1 ) = 5a - 7 [/latex] ; [latex] na + n = 5a - 7 [/latex] ; [latex] 5a - na = 7 + n [/latex] ; [latex] ( 5 - n ) a = 7 + n [/latex] ; [latex] a = \frac{ 7 + n }{ 5 - n } = \frac{ 12 + n - 5 }{ 5 - n } = \frac{ 12 }{ 5 - n } - \frac{ 5 - n }{ 5 - n } = \frac{ 12 }{ 5 - n } - 1 [/latex] ; Сумма всей комбинации – это: [latex] S = a + (2a-3) + (3a-4) = 6a-7 = 6(a-1)-1 = 6( \frac{ 12 }{ 5 - n } - 2 ) - 1 , [/latex] максимум которой достигается при минимальном значении в знаменателе дроби [latex] \frac{ 12 }{ 5 - n } , [/latex] т.е. при [latex] n = 4 . [/latex] Тогда сумма всей комбинации [latex] S = 6( \frac{ 12 }{ 5 - n } - 2 ) - 1 = 6( \frac{ 12 }{ 5 - 4 } - 2 ) - 1 = [/latex] [latex] = 6( \frac{ 12 }{ 1 } - 2 ) - 1 = 6( 12 - 2 ) - 1 = 6 \cdot 10 - 1 = 60 - 1 = 59 [/latex] ; О т в в е т : 59 .