А₁=1, А₂=3, Аₐ₊₂= 4Aₐ₊₁ -3Aₐ - при всех натуральных а. Найдите А₂₀₁₆

Решение в приложении. Полный ответ не выписываю, потому что больно длинный

A_(1) =A₁=1; A_(2)= A₂=3 ; A_(n+2) =4A_(n+1) -3A_(n). проверка A_(3) =A_(1+2)=4*A_(2) -3*A_(1) =4*3 -3*1=3² =3^(3-1) * * * A₃ =4*A₂ -3*A₁=4*3 -3*1=3² =3^(3-1) * * * * * *( 3 в степени индекс-1)   * * * * * *  a_(n) =3^(n-1) верно для всех n ∈N. 1) a_1 =1 =3^(1-1) =3⁰=1 ; a_2 =3 =3^1. ... ... 2)предположим, что a_(n) =3^(n-1) верно при  любой  n =к . a_(k) =3^(k-1)    3) докажем что a_(k+1) =3^ k . a_(k+1)=4a_(k) -3a_(k-1)=4*3^(k-1)-3*3^(k-2) =3^(k-1)(4 -1) =3^(k-1). ---- a_(2016) =3²⁰¹⁵ .  ||  a₂₀₁₆=3²⁰¹⁵ ||