ABCDEF - правильный шестиугольник. Точка K - середина отрезка DE, M - середина отрезка BC, L - середина FK, P - середина BF, Q - середина BF, Q - середина MK. Покажите, что треугольник LPQ - правильный.

Одна из сторон этого треугольника есть средняя линяя трапеции CDEF. Средняя линяя трапеции равна полусумме его оснований. Одним основанием является сторона шестиугольника ED, т. е. равна a, а вторым основанием расстояние CF, которое равно 2a.  Отсюда сторона треугольника равна (2a+a)/2=3/2a