AE и BD- биссектрисы в треугольнике ABC,которые пересекаются в точке O. Найдите отношение AO:OE,если AD=8 см,DC=12 см,EC=10 см.

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. СЕ:ЕВ=АС:АВ; 10:ЕВ=20:АВ По свойству пропорции 20ЕВ=10АВ АВ=2ЕВ Пусть ЕВ=х, тогда АВ=2х AD:DC=AB:BC 8:12=2x:(x+10) 12·2x=8·(x+10) 24x=8x+80 24x-8x=80 16x=80 x=5 ЕВ=5 см АВ=2х=10 см ВС=ВЕ+ЕС=5+10=15 см АС=AD+DC=8+12=20 cм АО:ОЕ=АВ:ВЕ=10:5=2:1 О т в е т. стороны треугольника 10 см; 15 см; 20 см.                АО:ОЕ=2:1

Люблю простые и изящные решения, так что прийдется и мне вмешаться. Смотри рисунок.  Обозначим все что есть и еще х=АВ и у=ВЕ (это для простоты, чтоб меньше писать- я ленивый) тогда из треуг. АВЕ и его бисс. ВО-        1)АО/ОЕ=х/у теперь мысленно или не мысленно "поворачиваем" рисунок (это чтоб понятнее было)  и из треуг. САВ и его бисс. АЕ имеем 2) х/у=20/10       х/у=2  подставляем это в 1) и имеем АО/ОЕ=2