Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=10 и MB=18 . Касательная к описанной окружности треугольника ABC , проходящая через точку C , пересекает прямую AB в точке D . Найдите CD .

Рассмотрим треугольники ADC и CBD. ∠DCA=∠CBA (т.к. градусная мера дуги CA равна половине угла DCA по четвертому свойству углов, связанных с окружностью, и на эту же дугу опирается вписанный угол CBA, который тоже равен половине градусной меры дуги, на которую опирается по теореме). ∠CDB - общий для обоих треугольников, следовательно, по признаку подобия, треугольники ADC и CBD - подобны. Следовательно, по определению подобных треугольников запишем: CD/BD=AC/BC=AD/CD AC/BC=AM/MB=10/18 (по первому свойству биссектрисы). Из этих равенств выписываем: AD=CD*10/18 BD=CD*18/10, (BD=AD+AB=AD+18+10=AD+28) AD+28=CD*18/10 CD*10/18+28=CD*18/10 28=CD*18/10-CD*10/18 28=(18*18*CD-10*10*CD)/180 28*180=CD(324-100) CD=28*180/224=180/8=22,5 Ответ: CD=22,5