Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в 60° с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.

Обозначим сторону основания (у нас он квадрат) как [latex]x[/latex]   , тогда опустим перпендикуляр на основания из вершины пирамиды , из прямоугольного треугольника образованный при  проведений высоты , получаем  что катет будет равен половине диагонали квадрата, а он равен [latex]d=a\sqrt{2}\\ 0.5d=0.5a\sqrt{2}[/latex] откуда [latex]\frac{0.5a\sqrt{2}}{sin30}=12\\ a=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}\\ [/latex] .  Теперь опустим высоты боковой грани , получим что она равна из прямоугольного треугольника другого  [latex] L=\sqrt{ 12^2-(\frac{6\sqrt{2}}{2}^2)}=\sqrt{144-18}=\sqrt{126}\\ S_{bok}=\frac{4*6\sqrt{2}*\sqrt{126}}{2}=24\sqrt{63}\\ S_{pov}=(6\sqrt{2})^2+24\sqrt{63}=72+72\sqrt{7}=72(1+\sqrt{7})[/latex]