Боковое  ребро правильной треугольной пирамиды равно а,угол между боковыми гранями равен 2φ.найдите длину стороны основания.    

Пусть пирамида имеет вершину S и в основании треугольник АВС. Для простоты обозначим неизвестную сторону основания х. Из точек С и В проведём к ребру АS перпендикуляры. В силу того, что грани АSC и АSВ одинаковы, эти перпендикуляры придут в одну точку К на ребре АS. Эти перпендикуляры равны: СК = ВК. Следовательно, треугольник СКВ - равнобедренный. Мерой двугранного угла, образованного двумя боковыми гранями  АSC и АSВ является линейный угол СКВ. Итак, уг. СКВ = 2φ Из вершины К тр-ка СКВ опустим высоту КД(она же медиана, она же биссектриса) на сторону ВС. В прямоугольном тр-ке СКД уг.СКД = φ. Половина СД стороны основания ВС равна = 0,5х  или 0,5х = СK·sinφ. В тр-ке АSC, являющемся боковой гранью, высоту СК можно найти из площади S = 1/2 CK· AS или поскольку ребро AS = a, то S = 1/2 CK· а, откуда СК = 2S/а. Для другой боковой грани - тр-ка BSC, равного тр-ку АSC та же площадь S = 1/2 SД· ВС  или S = 0,5 SД· х. Из тр-ка СSД найдём SД SД² = SC² - CД² или SД² =а² - (0,5х)² SД =√(а² - (0,5х)²) Теперь пошли обратно по "жирной" цепочке Подставим SД в S = 1/2 SД· х и получим S = 0,5 √(а² - (0,5х)²)· х S подставим в СК = 2S/а. Получим СК = (х/а)·√(а² - (0,5х)²) Наконец, подставим СК в 0,5х = СK·sinφ. 0,5х = [√(а² - (0,5х)²)· х/а]·sinφ. Преобразуем и найдём х х/(2sinφ) = (х/а)·√(а² - (0,5х)²) 1/(2sinφ) = (1/а)·√(а² - (0,5х)²) а = 2sinφ·√(а² - (0,5х)²) а² = 4sin²φ·(а² - (0,5х)² а² = sin²φ·(4а² - х²) а² - 4а² ·sin²φ·=  - х²·sin²φ а²(4sin²φ - 1) = х²·sin²φ х = [а·√(4sin²φ - 1)]/sinφ - это и есть длина стороны основания