Через   середину   K   медианы   B M   треугольника   A BC   и   вершину   A   проведена   прямая , пересекающая   сторону   B C   в   точке   P . Найдите   отношение   площади   треугольника   A BK   к   площади   четырёху...

Пусть S - площадь тр АВС Пл АВМ = пл СВМ =  1/2  S так как медиана делит треуг на равновеликие  В треуг МАВ отрезок АК - тоже медиана т.к. К - середина ВМ тогда  Пл  АВК = пл МАК =  1/2 пл АВМ = 1/2 * 1/2  * S = 1/4 S Пл КРСМ = Пл ВСМ - пл ВРК КР = 1/4 АР ( это очевидно если провести среднюю линии через М параллельно СВ т.к. средняя линия делит АР пополам, а К середина ВМ то К делит половину АР тоже пополам) Тогда площадь ВКР / площадь ВАК  = 1/3  (так как у них общая высота а основания КР/КА = 1/3 )  Тогда пл ВКР = 1/3 * пл АВК = 1/3 * 1/4  * S = 1/12 * S Тогда  Пл КРСМ = Пл ВСМ - пл ВРК =  1/2 * S - 1/12 * S = 5/12 * S Теперь можно найти отношение площади   треугольника   ABK   к   площади   четырёхугольника   KPCM = ( 1/4* S  ) /  (5/12 * S) = 3/5   Ответ 3/5