Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекаюшая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АМК. Объясните!

Первое, что надо сделать - найти отношение ВР/СР; Есть очень много способов, я применяю тот, который используется при доказательстве теоремы Чевы. Через вершину В проводится прямая II АС. АР продолжается за точку Р до пересечения с этой прямой в точке Е. Итак, ВЕ II AC; Треугольники ЕВК и АКМ подобны (у них углы равны), поэтому ЕВ/АМ = ВК/КМ; в даном случае ВК/КМ = 1, и ЕВ = АМ; (то есть эти треугольники просто равны). Отсюда ЕВ = АС/2; (ВМ - медиана) Треугольники ЕВР и АСР тоже подобны по тому же признаку, поэтому ВР/СР = ЕВ/АС = 1/2; Итак, СР = ВС*2/3; и, соответственно, площадь треугольника АСР Sacp = S*2/3; (S - площадь треугольника АВС). Поскольку площадь треугольника ВАМ равна половине площади АВС, а площадь АКМ равна половине АВМ, то Sakm = S/4; Таким образом, площадь четырехугольника КРСМ равна Skpcm = Sacp - Sakm = S*(2/3 - 1/4) = S*5/12; Ответ 12/5;