Через точку А1, делящую сторону ВС треугольника АВС в отношении ВА1 : А1С = 1 : 2, проведена прямая, параллельная медиане ВВ1. В каком отношении она делит сторону АС?

Медиана, как известно, делит сторону АС пополам. А прямая, параллельная медиане, разделит половину стороны АС в отношении 2:1, считая от вершины угла С. В итоге АС разделится на в отношении 2/6 = 1/3 и 4/6 = 2/3, считая от вершины угла С.