Через вершину B правильного шестиугольника ABCDEF проведена прямая, пересекающая прямую CF в точке K . Известно, что эта прямая разбивает шестиугольник на части, площади которых относятся как 1:8 . Найдите отношение CK : KF .

S(ABF) : S(ABCDEF) = 1  :6  > 1: 8 ⇒ BK пересекает  сторону  AF .  Пусть  M  точка пересечения    [BK]   и  [ AF]   ; M  ∈ [ AF ]  . S₁  =S(ΔABM ) ,  S ₂=S(ABCDEF) - S₁ = S(ABCDEF) - S(ΔABM ). Обозначаем AB = BC =CD = DE = EF =FF  =  a ; ⇒ CF = 2a ,  CF| |AB   ( свойство  правильного шестиугольника  ) . AM = x⇒ M F = a - x ; CK  : KF ---? ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- { S₁ : S ₂ = 1: 8 ; S₁ + S ₂ = S  ( S _ площадь правильного шестиугольника ABCDEF) .  S₁ = 1/9*S ; ================================================================== 1/2 *a* x *sin 120° = 1/9*(a²√3)/4 ; 1/2 *a* x *(√3)/2 = 1/9*6*(a²√3)/4    **** sin 120° =sin(180° - 60°) = sin60° =√3/2  ***; x = 2/3a ⇒ M F = a - x =a -2/3a = 1/3a .  ΔFKM   подобен ΔABM   (CF| |AB)  : FK/AB =MF/MF; FK/a = (1/3a)/(2/3a) ; FK = a/2  ; ***  наконец   *** CK / FK = (CF+FK)/FK =(2a+a/2)/(a/2) =5 :1 . ответ :   CK / FK = 5.