Число 80 записать в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей. Чему равна разность этих чисел?

Это будут числа  близкие к 80 / 2 = 40 это пара чисел 39 + 41 39^2 + 41^2 = 1521 + 1681= 3202     Сумма квадратов других пар будет  больше , например : 80 = 2 + 78        2^2 + 78^2 =  4  +6084 = 6088

Допустим одно число х , а другое у. Выразим x через у: x+y=80 y=80-x запишем вот такое выражение  [latex] x^{2} + (80-x)^{2} [/latex] - найдем его наименьшее значение для этого упростим его. [latex] x^{2} + x^{2} -160x+6400[/latex] В итоге получаем квадратный тричлен который всегда >0 . Поскольку график направлен вверх , то наименьшее значение будет в вершине параболы . [latex]2 x^{2}-160x+6400[/latex] Найдем вершину параболы: [latex] x_{0}= \frac{-b}{2a}= \frac{160}{2*2}= \frac{160}{4}=40 [/latex] это первое число . Второе : y=80-x y=80-40 y=40 Других чисел нет . Ответ: x=40 y=40.