Число N равно произведению 200 простых чисел (не обязательно различных). Если каждый множитель в этом представлении увеличить на единицу, то полученное произведение будет делиться на N . Сколько таких натуральных N существует? ...

 Запишем условие [latex]N=x_{1}x_{2}x_{3}*...*x_{200}\\ N_{1}=(x_{1}+1)(x_{2}+1)(x_{3}+1)*...(x_{200}+1)\\[/latex] где   [latex]x_{1};x_{2};x_{3}...x_{200}[/latex] - простые числа   По условия [latex]\frac{N_{1}}{N} \in C[/latex] целое .   Если все числа [latex]x_{1};x_{2}...[/latex] будут действительно различные, то из выражения  [latex]\frac{N_{1}}{N}= (1+\frac{1}{x_{1}})(1+\frac{1}{x_{2}})(1+\frac{1}{x_{3}})*...(1+\frac{1}{x_{200}})[/latex] с учетом того что данные числа простые, как минимум среди них  будет множитель [latex]2^{200}[/latex],потому что [latex]x_{1}+1;x_{2}+1...;x_{200}+1[/latex] уже четные числа. Запишем как  [latex]2^{200}*(\frac{a_{1}}{x_{1}})*(\frac{a_{2}}{x_{2}})*(\frac{a_{3}}{x_{3}})*...* (\frac{a_{200}}{x_{200}})[/latex] так как [latex]a_{n}0\\ b-2a+200>0\\ a+b-200>0[/latex] откуда с последнего  неравенства, решения будут при целых [latex]a+b=201[/latex] то есть все числа должны давать в сумме [latex]201[/latex] , но тогда [latex]c<0[/latex] что не противоречит условию Теперь увеличим наше число до [latex]4[/latex] простых числа   [latex]2^a*3^b*5^c*13^d\\ a+b+c+d=200\\ [/latex] так же после всех преобразований получаем  [latex] c<0\\ -2a+b+200>0\\a-b+c>0\\-a-b-c+200>0\\a+b+c-200>0[/latex]  но отсюда так же следует что [latex]a+b+c>200[/latex] что противоречит [latex]d>0[/latex]  И теперь очевидно  для [latex]n[/latex] взятого простого числа так же будет справедлива это тождество. Теперь рассмотрим случай [latex] N=2^a*3^b\\ N_{1}=3^a*2^{2b}\\ \frac{N_{1}}{N} = \frac{3^a*2^{2b}}{2^a*3^b} = 3^{a-b}*2^{2b-a}\\ a+b=200\\ 3^{200-2b}*2^{3b-200}\\ 200-2b>0\\ 3b-200>0\\\\ b<100\\ b>\frac{200}{3}[/latex] откуда   [latex][ \frac{200}{3} ]= 66\\ 100-66=33[/latex] решения  Ответ [latex]33[/latex]  И это все является решением для 6-классника, так как использованы обычные работы со степенями и неравенствами