Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число P?

Решение: Любое натуральное число N представимо в виде произведения   N = (p1k1)*(p2k2)*... и т.д., где p1, p2 и т.д. - простые числа, а k1, k2 и т.д. - целые неотрицательные числа. Например,   15 = (31)*(51)   72 = 8*9 = (23)*(32) Так вот, общее количество натуральных делителей числа N равно (k1+1)*(k2+1)*... Итак, по условию, P = N1*N2*...*N11, где   N1 = (p1k[1,1])*(p2k[1,2])*...   N2 = (p1k[2,1])*(p2k[2,2])*... ..., а это значит, что   P = (p1(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]))*(p2(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]))*..., и общее количество натуральных делителей числа P равно (k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]+1)*(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]+1)*...   Это выражение принимает минимальное значение, если все числа N1...N11 являются последовательными натуральными степенями одного и того же простого числа, начиная с 1: N1 = p, N2 = p2, ... N11 = p11. То есть, например,   N1 = 21 = 2,   N2 = 22 = 4,   N3 = 23 = 8, ...   N11 = 211 = 2048. Тогда количество натуральных делителей числа P равно 1+(1+2+3+...+11) = 67.