Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Сторона АВ точками M и N разделена на 3 равные части, сторона CD разделена точками K и L также на 3 равные части. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника KLMN равна 1/3 площади данног...

Пусть продолжения прямых AB и CD за точки B и С пересекаются в О и пусть OB=x, OC=y, AM=MN=NB=s, DL=KL=KC=t. Тогда S(ABCD)=S(OAD)-S(OBC)=1/2*((x+3s)*(y+3t)-xy)*sin(∠BOC) S(KLMN)=S(OML)-S(ONK)=1/2*((x+2s)*(y+2t)-(x+s)(y+t))*sin(∠BOC) Отсюда S(ABCD)/S(KLMN)=(3sy+3xt+9st)/(2sy+2xt+4st-sy-xt-st)=3.