Дана электрическая цепь. Сила тока в первом резисторе 4 А. Найти показания амперметра.

ПЕРВЫЙ СПОСОБ: Сначала смотрим на левую схему, приложенную к решению задачи: Сопротивления R1, R3 и R5 (отмечены зелёным) образуют трёх-контактный омический элемент R135, Внутри R135 между контактами вокруг R1 – общее сопротивление: 1/[1/R+1/(2R+3R)] = [5/6]R . Внутри R135 между контактами вокруг R3 – общее сопротивление: 1/[1/[2R]+1/(R+3R)] = [4/3]R . Внутри R135 между контактами вокруг R5 – общее сопротивление: 1/[1/[3R]+1/(R+2R)] = [3/2]R . Изменим схему на эквивалентную. Удалим все зелёные резисторы и поставим на их место красные R13, R15 и R35, чтобы они обеспечивали такое же омическое поведение элемента R135, а именно, чтобы: R13 + R15 = [5/6] R ;         [1] R13 + R35 = [4/3] R ;         [2] R15 + R35 = [3/2] R ;         [3] Вычтем из последнего второе: R15 – R13 = [1/6] R ; Сложим это с первым: R15 = R/2 ; Из первого: R13 = R/3 ; Из второго: R35 = R ; На верхнем правом плече эквивалентной схемы: R15 + R2 = 2.5 R ; На нижнем правом плече эквивалентной схемы: R35 + R4 = 7 R ; Значит, ток на нижнем плече эквивалентной и исходной схемы будет обратно пропорционален сопротивлению, т.е. будет: I4 = I [2.5R/9.5R] = [5/19] I ; Теперь смотрим на правую схему, приложенную к решению задачи: Сопротивления R2, R4 и R5 (отмечены зелёным) образуют трёх-контактный омический элемент R245. Внутри R245: между контактами вокруг R2 – общее сопротивление: [18/11]R , между контактами вокруг R4 – [30/11]R , между контактами вокруг R5 – [24/11]R . Изменим схему на эквивалентную. Удалим зелёные резисторы R2, R4 и R5 и поставим на их место красные R24, R25 и R45 так, чтобы они обеспечивали такое же омическое поведение элемента R245, а именно, чтобы: R24 + R25 = [18/11] R ;         [4] R24 + R45 = [30/11] R ;         [5] R25 + R45 = [24/11] R ;         [6] Вычтем из пятого шестое: R24 – R25 = [6/11] R ; Сложим это с [4]: R24 = [12/11] R ; Из первого: R25 = [6/11] R ; Из второго: R45 = [18/11] R ; На верхнем левом плече второй эквивалентной схемы: R1 + R25 = [17/11] R ; На нижнем левом плече второй эквивалентной схемы: R3 + R45 = [40/11] R ; Значит, ток на верхнем плече второй эквивалентной и исходной схемы будет обратно пропорционален сопротивлению, т.е. будет: I1 = [40/57] I ; Обобщая: I4/I1 = ( [5/19] I ) / ( [40/57] I ) = 3/8 ; I4 = [3/8] I1 = [3/8]*4 = 1.5 А; ОТВЕТ: 1.5 А.

ТРЕТИЙ СПОСОБ: В ветке амперметра стоит довольно большое сопротивление, так что через него будет течь довольно слабый ток, к которому будет присоединяться ток из R5 идущий вниз. Будем считать положительным направлением тока I5 – направление вниз. Если предложение неоправданно – мы просто будем иметь отрицательное значение для I5. Итак: по всем сопротивлениям токи текут либо налево, либо вниз. I3 = I4 + I5 ; I2 = I1 + I5 ; Общее падение напряжения на R3 и R5 равно падению напряжения на R1: R3 I3 + R5 I5 = R1 I1 ; Общее падение напряжения на R5 и R2 равно падению напряжения на R4: R5 I5 + R2 I2 = R4 I4 ; Подставляем в эти два уравнения полученные выше выражения для токов: R3 ( I4 + I5 ) + R5 I5 = R1 I1 ; R5 I5 + R2 ( I1 + I5 ) = R4 I4 ; R3 I4 + R3 I5 + R5 I5 = R1 I1 ; R5 I5 + R2 I1 + R2 I5 = R4 I4 ; R3 I4 + ( R3 + R5 ) I5 = R1 I1 ;     || * R4 ( R5 + R2 ) I5 + R2 I1 = R4 I4 ;     || * R3 , и складываем: R4 ( R3 + R5 ) I5 + R3 ( R5 + R2 ) I5 + R3 R2 I1 = R4 R1 I1 ; ( R4 ( R3 + R5 ) + R3 ( R5 + R2 ) ) I5 = ( R4 R1 – R3 R2 ) I1 ; I1 = I5 ( R3*R4 + R4*R5 + R5*R3 + R2*R3 ) / ( R4 R1 – R3 R2 ) – перемножается попарно внешняя звёздочка R3, R4 и R5 и ещё внешняя диагональ R2*R3 ; Аналогично: I4 = I5 ( R1*R2 + R2*R5 + R5*R1 + R2*R3 ) / ( R4 R1 – R3 R2 ) – перемножается попарно внешняя звёздочка R1, R2 и R5 и ещё внешняя диагональ R2*R3 ; I4/I1 = ( R1*R2 + R2*R5 + R5*R1 + R2*R3 ) / ( R3*R4 + R4*R5 + R5*R3 + R2*R3 ) ; I4/I1 = ( 2 + 6 + 3 + 4 ) / ( 12 + 18 + 6 + 4 ) = 15/40 ; I4 = [15/40] I1 ≈ [15/40] 4 ≈ 1.5 А ; ЧЕТВЁРТЫЙ СПОСОБ (облегчённый третий): I3 = I4 + I5 ; I2 = I1 + I5 ; R3 I3 + R5 I5 = R1 I1 ; R5 I5 + R2 I2 = R4 I4 ; 2R ( I4 + I5 ) + 3R I5 = R I1 ; 3R I5 + 2R ( I1 + I5 ) = 6R I4 ; 2 I4 + 2 I5 + 3 I5 = I1 ; 3 I5 + 2 I1 + 2 I5 = 6 I4 ; 2 I4 + 5 I5 = I1 ; 5 I5 + 2 I1 = 6 I4 ; вычитаем: 2 I4 – 2 I1 = I1 – 6 I4 ; 8 I4 = 3 I1 ; I4 = [3/8] I1 ≈ [3/8] 4 = 1.5 А .