Дана задача линейного программирования. Составить математическую модель двойственной к ней задачи. Решить одну из них графическим методом. Решение другой задачи найти с использованием основных теорем двойственности.

Решение: Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом. Поскольку в правой части присутствуют отрицательные значения, умножим соответствующие строки на (-1). Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 2x2 при следующих условиях: - x1 + x2≤2 6x1 + 7x2≤42 x1 - 2x2≤0 x1≥2 В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. Во 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 4-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x6 со знаком минус. В 5-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x7 со знаком минус.  -1x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 2 6x1 + 7x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 42 1x1-2x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 0 1x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5-1x6 + 0x7 = 2 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6-1x7 = 0 Введем искусственные переменные x: в 4-м равенстве вводим переменную x8; в 5-м равенстве вводим переменную x9;  -1x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 = 2 6x1 + 7x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 = 42 1x1-2x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 + 0x8 + 0x9 = 0 1x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5-1x6 + 0x7 + 1x8 + 0x9 = 2 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6-1x7 + 0x8 + 1x9 = 0 Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так: F(X) = 2x2 - Mx8 - Mx9 → max Из уравнений выражаем искусственные переменные: x8 = 2-x1+x6 x9 = 0+x7 которые подставим в целевую функцию: F(X) = 2x2 - M(2-x1+x6) - M(0+x7) → max или F(X) = (M)x1+(2)x2+(-M)x6+(-M)x7+(-2M) → max