Дано: ΔABC, AB=BC, BD⊥AC, OD/OB=3/5, AB=10. Найти: r ( радиус вписанной окружности) Решение:

Так как известно отношение OD/OB=3/5, то можно обозначить OD=3x (OD=r - значит, 3х - искомый радиус), OB=5x, следовательно BD=8х. Также обозначим АС=а. Площадь треугольника равна половине произведение его периметра на радиус вписанной окружности: [latex]S= \frac{1}{2} Pr\Rightarrow r= \frac{2S}{P} [/latex] С другой стороны площадь можно найти как половина произведения основания на высоту: [latex]S= \frac{1}{2} \cdot AC\cdot BD[/latex] Тогда выражение для радиуса вписанной окружности примет вид: [latex]r= \frac{AC\cdot BD}{P} [/latex] Подставим в последнее выражения все ранее введенные обозначения и известные числовые данные: [latex]r=\frac{a\cdot 8x}{a+10+10}[/latex] Зная, что r=3x, получим: [latex]3x=\frac{8ax}{a+20} \\\ 3=\frac{8a}{a+20} \\\ 8a=3a+60 \\\ 5a=60 \\\ a=12 \\\ AC=12[/latex] Рассмотрим треугольник АВD: AD есть половина АС, так как BD - высота (следовательно и медиана) равнобедренного треугольника. По теореме Пифагора получим: [latex]AB^2=( \frac{AC}{2} )^2+BD^2 \\\ 10^2=6^2+(8x)^2 \\\ 100=36+64x^2 \\ 64=64x^2 \\\ x^2=1 \\\ x=1, \ x \neq -1[/latex] Теперь можно найти радиус вписанной окружности: [latex]r=3x=3\cdot1=3[/latex] Ответ: 3