Дано: ΔABC, AB=BC, E-точка пересечения BD и AE, BD-высота; AE-биссектриса, sin∠ABD=5/15, A(-15;-2), C(35;-2) Найти: R Решение: ? ***нужно решить через формулу Герона и найти радиус по формуле: R=abc/4S***

Основание АС треугольника АВС равно 35 - (-15) = 50 ед. Тогда AD = 50:2 = 25 ед. По условию AD:AB = 5:15, откуда АВ = 15*5 = 75 ед. Полупериметр треугольника АВС равен (75 + 75 + 50)/2 = 100 ед. Его площадь (по формуле Герона) равна [latex] \sqrt{100*(100 - 75)*(100 - 75)*(100 - 50)} = \sqrt{100*25*25*50}[/latex] = 1250√2. Радиус описанной окружности равен R = 75*75*50/(4*1250√2) = 28 1/8 *√2

Найдем длину АС: [latex]AC= \sqrt{(35-(-15))^2+(-2-(-2))^2} =50[/latex] Так как АВ=ВС, то треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. Тогда, ВD - также медиана и биссектриса. Найдем AD и DC: [latex]AD=DC= \frac{AC}{2} = \frac{50}{2} =25[/latex] Рассмотрим треугольник АВD: [latex]\sin ABD= \frac{AD}{AB} \Rightarrow AB= \frac{AD}{\sin ABD} \\\ AB= \frac{25}{5/15} =75[/latex] Так как треугольник равнобедренный, то и третья его сторона равна 75. По формуле Герона: [latex]S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} [/latex], где а, b, c - стороны треугольника, р - его полупериметр Найдем полупериметр: [latex]p= \frac{AB+BC+AC}{2} = \frac{75+75+50}{2} =100[/latex] Находим площадь: [latex]S= \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} \\\ S= \sqrt{100(100-75)(100-75)(100-50)} =\sqrt{100\cdot 25\cdot 25\cdot 50} =1250 \sqrt{2} [/latex] Находим R по заданной формуле: [latex]R= \cfrac{abc}{4S} \\\ R= \cfrac{75\cdot75\cdot50}{4\cdot 1250\sqrt{2} } = \cfrac{225}{4\sqrt{2} } =\cfrac{225 \sqrt{2} }{8 } [/latex] Ответ: [latex]\cfrac{225 \sqrt{2} }{8 } [/latex]