Дано:∆АВС1.окружность,описанная около равнобедренного треугольника.2.АС=8,R=5.Найти площадь

Центр описанной окружности лежит на пересечении срединных перпендикуляров к сторонам треугольника, следовательно, на высоте равнобедренного ∆ АВС или на ее продолжении.  Ответ зависит от величины угла АВС. Если он тупой, центр О описанной окружности вне треугольника, если острый - внутри него. Существует формула для радиуса описанной вокруг равнобедренного треугольника окружности.  В данном ниже решении она не применялась.  а) ∆ АВС тупоугольный, центр О - вне треугольника.  Соединим О с вершинами А и С.  Высота ВН еще и медиана и биссектриса  ∆ АВС и принадлежит радиусу ВО ( срединному перпендикуляру).  Тогда АН=СН-4 ∆ ОНС - «египетский», ⇒ ОН=3 см, ⇒ ВН, высота ∆ АВС, равна 2 см.  S ∆ АВС=ВН•AC:2=8 см² б) ∆ АВС - остроугольный. Центр О - в плоскости треугольника.  Проведем диаметр СК и соединим К и В.  ∆ СВК - прямоугольный ( угол В опирается на диаметр).  ВН в нём - высота, СК - гипотенуза, СН - проекция катета СВ на гипотенузу.  Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой; СН²=ВН•KH⇒ ВH=СН²:HK НК=10-ВН 16=BH•(10-ВН) BH²-10 BH+16=0 ⇒ BН₁=8 см; ВН₂=2 см ( это значение мы использовали для тупоугольного треугольника)   S ∆ АВС =8•8:2=32 cм²

Для тех, кто не любит делать решения с рисунками. Есть формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника: R=a²/√(4a²-b²) (1). Формула площади для такого треугольника: S=a²/(4*R) (2). По первой находим боковую сторону, по второй - искомую площадь. Итак, 25=(a²)²/(4a²-64). Пусть а²=х, тогда имеем: 25*(4х-64)=х². Квадратное уравнение х²-100х+1600=0 имеет два корня (стандартное решение опускаю): х1=80 и х2=20. Подставляем эти значения в формулу (2): S1=80*8/20=32. S2=20*8/20=8. Ответ: площадь данного нам треугольника АВС может быть S1=8 ед² и S2=32 ед².