Даны 15 чисел. Сумма любых 8 из них положительна. Докажите, что среди них обязательно найдутся по крайней мере 8 положительных.

Пусть положительных чисел меньше 8. Тогда не положительных не меньше 8. Если их (отрицательных) 8, то их сумма - не положительна (отрицательна или равна 0). Если их больше 8, то сумма любых 8 из них не может быть положительным числом. Полученное противоречие доказывает, что положительных чисел не меньше 8.